cho hình vuông ABCD cạnh a.và điểm N trên AB. Biết tia CN cắt DA tại E. Tia CX cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của EF.
CMR:
a)CE=CF
b)góc AEC=góc BMC và tam giác AEC đồng dạng với tan giác MBC
c)khi điểm N chuyển động trên AB nhưng không trùng với A và B thì trung điểm M của EF luôn chạy trên 1 đường thẳng cố định
d)Đặt BN bằng x tính diện tích tứ giác ACFE theo a và x
e) Xác định vị trí của N trên AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích tứ giác ABCD.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Câu hỏi của Vũ Huy Hiệu - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảobài tương tự tại đây nhé.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a. Ta thấy \(\widehat{EAF}=\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) C, A thuộc đường tròn đường kính EF hay E, A, C, F cùng thuộc đường tròn đường kính EF.
b. Do E, A, C, F cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat{CEF}=\widehat{CAF}=45^o\) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Lại có \(\widehat{ECF}=90^o\Rightarrow\) \(\Delta ECF\) vuông cân tại C hay CE = CF.
Do BC // DE nên \(\widehat{NCB}=\widehat{CED}\Rightarrow\Delta NBC\sim\Delta CDE\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{NB}{CD}=\frac{BC}{DE}\Rightarrow BN.DE=CD.BC=a^2\) không đổi.
c. Ta thấy BCFM là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{BCM}+\widehat{CMB}=\widehat{BFM}+\widehat{CFB}=\widehat{MFC}=45^o\)
Gọi tia đối của tia BM là Bx, ta có \(\widehat{CBx}=45^o;\widehat{CBD}=45^o\Rightarrow\)D thuộc tia đối tia BM. Vậy D, B, M thẳng hàng.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tg EAB và tg BCF có
A1=C1 ( cùng bù góc BAC = góc BCA)
góc F = góc EBA ( đồng vị của AB//CF)
Do đó tg EAB ~ tg BCF (gg)
=> AE/BC = AB/CF hay AE.CF=AB.BC => AE.CF = AB2 (AB=BC)
Màu AB2 ko đổi => AE.CF ko đổi
Vậy AE.CF ko đổi
b) Xét tam giác AEC và tg CAF có
AC/CF = AE/AC (vì AE.CF =AB2 hay AE.CF=AC2)
góc EAC = góc FCA =120 độ ( vì tg ABC đều =>A1+BAC=120 độ; C1+BCA =120 độ)
Do đó tg AEC ~ tg CAF (cgc)
c) tg AEC ~ tg CAF => góc E1= góc F1
Mà A1+BAC=120 độ
=> A1+E1=120 độ ( góc BAC= góc E1=60 độ)
Do đó EOF =120 độ ( do là tổng 2 góc trong ko kề vs nó của tg EAO)
Vậy góc EOF ko đổi
sai r bạn ơi, góc A1+E1 ko bang 120 bạn nhé, Góc BAC+A1=120 chưa thể suy ra nhanh như thế
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Ta có: CD = BC; ^CDE = ^CBF ( = 90o), ^DCE = ^BCF (cùng phụ với ^NCB)
=> \(\Delta\)EDC = \(\Delta\)FBC (g.c.g) => CE = CF.
Chỗ chứng minh 3 điểm thẳng hàng và mấy câu còn lại chưa nghĩ ra:(((
a) Dễ chứng minh \(\Delta\)CDE = \(\Delta\)CBF (g.c.g), suy ra CE = CF.
Ta thấy các tam giác EAF vuông tại A, ECF vuông tại C có M là trung điểm cạnh huyền EF
Suy ra MA = MC (= EF/2). Vậy M,B,D cùng nằm trên trung trực đoạn AC hay M,B,D thẳng hàng.
b) Từ câu a dễ có \(\Delta\)ECF vuông cân tại C. Vì M là trung điểm EF nên \(\Delta\)MEC vuông cân tại M
Do đó ^ACE = ^BCM (= 450 - ^BCE). Đồng thời \(\Delta\)CBA ~ \(\Delta\)CME (g.g) kéo theo \(\Delta\)EAC ~ \(\Delta\)MBC (c.g.c).
c) \(BN=x\Rightarrow AN=a-x\). Áp dụng hệ quả ĐL Thales ta có:
\(\frac{BC}{AE}=\frac{BN}{AN}\) hay \(\frac{a}{AE}=\frac{x}{a-x}\Rightarrow AE=\frac{a^2-ax}{x}\)
Áp dụng ĐL Pytagoras cho \(\Delta\)CDE có:
\(CE^2=CD^2+DE^2=a^2+\left(a+\frac{a^2-ax}{x}\right)^2=\frac{a^4+a^2x^2}{x^2}\)
Lại có \(S_{CAE}=\frac{CD.AE}{2}=\frac{a^3-a^2x}{2x};S_{CEF}=\frac{CE^2}{2}=\frac{a^4+a^2x^2}{2x^2}\)
Suy ra \(S_{ACFE}=\frac{a^3-a^2x}{2x}+\frac{a^4+a^2x^2}{2x^2}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2}.\)
d) Ta đã tính được \(S_{ACFE}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2};S_{ABCD}=a^2\). Để \(S_{ACFE}=3S_{ABCD}\)thì:
\(\frac{a^4+a^3x}{2x^2}=3a^2\Leftrightarrow a^2+ax-6x^2=0\Leftrightarrow\left(2x-a\right)\left(3x+a\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\x=-\frac{a}{3}\left(l\right)\end{cases}}\). Vậy \(x=\frac{a}{2}\)hay N là trung điểm đoạn AB thì \(S_{ACFE}=3S_{ABCD}\).
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Xét tam giác vuông ABC, theo Pitago ta có: \(NC^2=NB^2+BC^2=x^2+a^2\)
Xét tam giác vuông NCF, chiều cao CB: Áp dụng hệ thức lượng ta có : \(NF=\frac{NC^2}{NB}=\frac{x^2+a^2}{x}\)
AN = a - x ; \(\frac{EA}{BC}=\frac{AN}{NB}\Rightarrow EA=\frac{a-x}{x}.a=\frac{a^2-ax}{x}\)
\(AF=AN+NF=a-x+\frac{a^2+x^2}{x}=\frac{ax+a^2}{x}\)
Vậy nên \(S_{ACEF}=S_{EAF}+S_{CAF}=\frac{1}{2}.AF.EA+\frac{1}{2}AF.BC\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\left(\frac{a^2-ax}{x}+a\right)=\frac{1}{2}.\frac{ax+a^2}{x}.\frac{a^2}{x}=\frac{a^4+a^3x}{2x^2}\left(đvdt\right)\)
b) Ta có \(\frac{a^4+a^3x}{2x^2}=3a^2\Rightarrow a^2+ax-6x^2=0\)
\(\Rightarrow\left(a-2x\right)\left(a+3x\right)=0\)
Do a, x > 0 nên a = 2x hay N là trung điểm AB.