Question

[THCS Thanh Ha Hoang Phuong Anh]

Cho (O;R) , M là điểm nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R . Từ M kẻ 2 tiếp tuyến MA và MB với đường tròn tại A và B . cmr : Tam giác MAB đều; b) Gọi C là giao điểm của MO với (O). Tính diện tích tứ giác AOBC. c) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AO cắt BM tại D. CMR: DC là tiếp tuyến của (O)

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/

Xét tg vuông AMO có

\(\sin\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{OM}=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{AMO}=30^o\)

Xét tg vuông AMO và tg vuông BMO có

MO chung; OA=OB=R => tg AMO = tg BMO (Hai tg vuông có cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông bằng nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=30^o\Rightarrow\widehat{AMO}+\widehat{BMO}=\widehat{AMB}=30^o+30^o=60^o\)

Xét tg MAB có

tg AMO = tg BMO (cmt) => MA=MB => tg MAB cân tại M

\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\)

Ta có

\(\widehat{MBA}+\widehat{MAB}=180^o-\widehat{AMB}=180^0-60^o=120^o\)

\(\Rightarrow2\widehat{MAB}=120^o\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=120^o:2=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=60^o\) => tg MAB là tg đều

b/ Gọi H là giao của MO với AB

\(\Rightarrow AB\perp MO;HA=HB\) (2 tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài hình tròn thì đường nối điểm đó với tâm vuông góc và chia đôi đoạn thẳng nối 2 tiếp điểm)

Ta có

\(S_{AOC}=\dfrac{1}{2}.HA.OC;S_{BOC}=\dfrac{1}{2}.HB.OC\) mà HA=HB (cmt)

\(\Rightarrow S_{AOC}=S_{BOC}\)

\(S_{AOBC}=S_{AOC}+S_{BOC}=2.S_{AOC}=HA.OC\) 

Xét tg vuông AMO có

\(AO^2=OH.MO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow OH=\dfrac{AO^2}{MO}=\dfrac{R^2}{2R}=\dfrac{R}{2}\)

Ta có

\(MH=MO-OH=2R-\dfrac{R}{2}=\dfrac{3R}{2}\)

Ta có

\(HA^2=MH.OH\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích giữa 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow HA=\sqrt{MH.OH}=\sqrt{\dfrac{3R}{2}.\dfrac{R}{2}}=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow S_{AOBC}=HA.OC=\dfrac{R\sqrt{3}}{2}.R=\dfrac{R^2\sqrt{3}}{2}\)

c/

Ta có

\(MA\perp OA;OD\perp OA\) => MA//OD

 \(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{AMO}=30^o\) (góc so le trong)

Xét tg vuông BMO có

\(\widehat{MOB}=90^o-\widehat{OMB}=90^o-30^o=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BOD}=\widehat{MOB}-\widehat{MOD}=60^o-30^o=30^o\)

\(\Rightarrow\widehat{MOD}=\widehat{BOD}=30^o\)

Xét tg BOD và tg COD có

\(OB=OC=R\)

OD chung

\(\widehat{BOD}=\widehat{MOD}\) (cmt)

=> tg BOD = tg COD (c.g.c)\(\Rightarrow\widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^o\Rightarrow CD\perp OC\)

=> CD là tiếp tuyến với (O)