Ta có \(\angle BDN=180^{\circ}-\angle ADE=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC.\) Mặt khác xét tam giác \(\Delta BCI\) có  \(\angle BIC=180^{\circ}-\angle IBC-\angle ICB=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(\angle ABC+\angle ACB\right)\)

\(=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle BAC\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\). 

Vậy ta có \(\angle BIC=\angle BDN.\) Xét hai tam giác \(\Delta BIC,\Delta BDN\) có \(\angle BIC=\angle BDN\left(=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right);\angle IBC=\angle DBN=\frac{1}{2}\angle ABC\to\)\(\Delta BIC\sim\Delta BDN\left(g.g\right)\).

b) Theo trên \(\angle BIC=\angle BDN=\angle MEC.\) Mà \(\angle ICB=\angle ECM=\frac{1}{2}\angle ACB\to\Delta BCI\sim\Delta MCE\left(g.g\right).\)  

Theo kết quả câu a) ta được \(\Delta BDN\sim\Delta MEC\) (ĐPCM)

Ta có \(p=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)-1=\frac{n^2+n-2}{2}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+2\right)}{2}\). Vì \(p\) là số nguyên tố, nên \(n\) là số nguyên lớn hơn \(1\).

Với \(n=2\to p=2\) thỏa mãn.

Với \(n=3\to p=5\) thỏa mãn

Với \(n\ge4:\) Nếu \(n\) là số chẵn thì \(p=\left(n-1\right)\cdot\frac{n+2}{2}\) là tích của hai số lớn hơn \(1\) nên \(p\) không phải là số nguyên tố. Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(p=\frac{n-1}{2}\cdot\left(n+2\right)\) là tích của hai số lớn hơn \(1\) nên \(p\) không phải là số nguyên tố.

Vậy chỉ có 2 số nguyên tố thỏa mãn là \(p=2,5.\)

đ.k \(x\ge2\)

\(\sqrt{x+5}=1+\sqrt{x-2}\)

\(x+5=1+x-2+2\sqrt{x+2}\)(bình phương 2 vế của phương trình)

\(6=2\sqrt{x-2}\)

\(36=4\left(x-2\right)\)

\(x-2=9\)

\(x=11\)

\(x\sqrt{\frac{\left(1+y^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+xz+y^2\right)\left(xy+yz+xz+z^2\right)}{xy+yz+xz+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left(y+z\right)\)

tương tự ta có

\(y\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+z^2\right)}{1+y^2}}=y\left(x+z\right)\) và \(z\sqrt{\frac{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}{1+z^2}}=z\left(x+y\right)\)

do đó \(A=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)=2\left(xy+yz+xz\right)=2.1=2\)

vậy A=2