cho \(\Delta\)ABC vuông tại O. Cho \(\Delta\)quay quanh OA cố định ta được hình nón vó thể tích là 900\(\pi\). Nếu quay quanh cạnh OB cố định thì ta được hình nón có thể tích 1920\(\pi\). tính OB và OA
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
MX
17
HT
1
8 tháng 5 2017
(Lời giải có thể hơi khó hiểu một chút)
Đề bài yêu cầu ta giải pt nghiệm nguyên \(2^x+5^y=n^2\)
Ta xét modulo 5. Rõ ràng \(n^2=0,1,4\left(mod5\right)\) nên \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\)
\(2^1=2\left(mod5\right)\), \(2^2=4\left(mod5\right)\), \(2^3=3\left(mod5\right)\), \(2^4=1\left(mod5\right)\) và sau đó quay vòng lại.
Từ đó ta thấy số dư của \(2^n\) khi chia cho 5 lặp lại theo chu kì 4 đơn vị.
Đồng thời, để \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\) thì \(x=0,2\left(mod4\right)\) hay \(x\) chẵn.
Đặt \(x=2k\). Pt thành \(4^k+5^y=n^2\)
-----
Ta chuyển sang xét modulo 3.
Do \(4^k=1\left(mod3\right)\) và \(n^2=0,1\left(mod3\right)\) và \(5^y=\left(-1\right)^y\left(mod3\right)\) nên \(y\) lẻ.
(Chỗ này mình ghi tắt. Bạn thử suy luận xem tại sao \(y\) chẵn không được nhé).
------
Trong pt cần giải ta biến đổi thành: \(5^y=n^2-4^k=\left(n-2^k\right)\left(n+2^k\right)\).
Vế trái chỉ gồm tích các số 5, do đó ta có: \(\hept{\begin{cases}n-2^k=5^b\\n+2^k=5^a\end{cases}}\) và \(b< a,a+b=y\).
Lấy hai vế trừ nhau ta có: \(2^{k+1}=5^a-5^b=5^b\left(5^{a-b}-1\right)\).
Vế trái không chia hết cho 5, nếu \(b\ge1\) thì vế phải sẽ chia hết cho 5 nên không được.
Vậy \(b=0,a=y\) và ta có \(2^{k+1}=5^y-1\).
-----
Ta viết \(5^y-1=\left(5-1\right)\left(5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1\right)\).
Để ý thấy, từ \(5^{y-1}\) tới \(5^0\) có \(y\) số lẻ, tức là tổng của chúng lẻ.
Chứng tỏ tổng này không là lũy thừa của 2, trừ trường hợp tổng đó là 1.
Tức là \(y=1\). Từ việc \(5^y-1=2^{k+1}\) suy ra \(k=1,x=2\).
Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là nghiệm duy nhất của pt.
DN
7 tháng 5 2017
Trước hết ta sẽ giải quyết phần \(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\)
ta có công thức rút gọn sau: \(S+_-2\sqrt{P}\Rightarrow x^2-Sx+P\Leftrightarrow x_1=a;x_2=b\Rightarrow S+2\sqrt{P}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)
\(\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}\Rightarrow x^2-5x+3\sqrt{3}=0\left(1\right)\)
\(\left(a=1;b=-5;c=3-\sqrt{3}\right)\)
\(\Delta=b^2-4ac=\left(-5\right)^2-4.1.\left(3-\sqrt{3}\right)=13+4\sqrt{3}>0\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{13+4\sqrt{3}}=\sqrt{\left(2\sqrt{3}+1\right)^2}=2\sqrt{3}+1\)
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)+2\sqrt{3}+1}{2.1}=3+\sqrt{3}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-\left(-5\right)-\left(2\sqrt{3}-1\right)}{2.1}=2-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{5-2\sqrt{3-\sqrt{3}}}=\sqrt{\left(\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^2}=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
\(F=\sqrt{3+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3+\sqrt{3}}+\sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(\Leftrightarrow F=\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
Nhân cả tử và mẫu của hai căn với căn 2
Từ đó ta sẽ được hằng đẳng thức ở tử và rút gọn mất căn:
\(\Leftrightarrow F=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)