Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường cao AH. Từ điểm M bất kì trên BC \(\left(M\ne C\right)\), vẽ đường thẳng song song với AC và AB, cắt AB ở D, AC ở E.

a) Chứng minh: ADME là hình chữ nhật.

b) AD = 6cm; AE = 8cm. Tính AM.

c) Chứng minh: \(\widehat{DHE}=90^o\)

d) Chứng minh: \(\text{AD.DB+AE.EC}\le\frac{BC^2}{4}\)

Bài 3.  

    Cho ΔMNP có và MH là đường cao. Gọi Q và R là hình chiếu của H trên các cạnh MN, MP. Gọi Y là điểm đối xứng với H qua Q, T là điểm đối xứng với H qua R.

 a) Tứ giác MQHR là hình gì? Vì sao ?

 b) Chứng minh 3 điểm Y, M, T thẳng hàng.

 c) Chứng minh NP = YN + PT.

 Bài 4.

Cho hình chữ nhật ABCD ( AB > BC), có M là trung điểm của DC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc DC , cắt AB tại N.

a. Chứng minh: Tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

b. Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành.

c. Kẻ MH vuông góc NC tại H, Gọi Q, K lần lượt là trung điểm của NB và HC. Chứng minh QK vuông góc MK.

Bài 5.

a. Chứng minh rằng:  với mọi số thực .

b. CMR:  - x² + 4x - 7 < 0 với mọi số thực x.

c. CMR: Chứng tỏ biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x, y

        (x+y)³+ (x -y)³ – 2(x³ + 3xy² + 2)