MÌnh gợi ý cho bạn thôi. Mong bạn hiểu.

a, MN là đường trung bình của tam giác HDC nên MN song song với CD và MN =1/2 CD

Mà AB song song với CD và AB= 1/2 CD

Suy ra: MN song song với AB và MN =AB

Vậy ABMN là hình bình hành (DHNB)

b, MN song song với DC(cmt) và DC vuông góc với AD nên MN vuông góc với AD

Tam giác ADM có 2 đường cao DH, MN cắt nhau tại N.

Do đó: N là trực tâm của tam giác ADM

VÌ thế: AN vuông góc với DM

Mà AN song song với BM (vì ABMN là hình bình hành)

Vậy BM vuông góc với DM.

Chúc bạn học tốt.

 \(B=\frac{a+1}{a^2-a+1}-\frac{1}{a+1}+\)\(\frac{a-2}{a^3+1}\)

\(B=\frac{\left(a+1\right)^2}{a^3+1}-\frac{a^2-a+1}{a^3+1}+\)\(\frac{a-2}{a^3+1}\)

\(B=\frac{a^2+2a+1-a^2+a-1-a+2}{a^3+1}\)

\(B=\frac{2a+2}{a^3+1}\)

\(B=\frac{2\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2+a+1\right)}\)

\(B=\frac{2}{a+1}\)

\(B=\frac{a+1}{a^2-a+1}-\frac{1}{a+1}-\frac{a-2}{a^3+1}\)                      ĐKXĐ : \(x\ne-1\)

\(=\frac{\left(a+1\right)^2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}-\frac{a^2-a+1}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)\(-\frac{a-2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{a^2+2a+1-a^2+a-1-a+2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{\left(a^2-a^2\right)+\left(2a+a-a\right)+\left(1-1+2\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{2a+2}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{2\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}\)

\(=\frac{2}{a^2-a+1}\)

\(A=\frac{x-1}{x+2}-\frac{x+2}{x-2}-\frac{x^2+12}{4-x^2}\)                    ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

\(=\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x^2+12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{x^2-2x-x+2-x^2-4x-4+x^2+12}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x^2-7x+10}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x^2-2x-5x+10}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x\left(x-2\right)-5\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{\left(x-5\right)\left(x-2\right)}{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}\)

\(=\frac{x-5}{x+2}\)

Đặt \(A=\frac{5-2m}{m^2+2}\Leftrightarrow Am^2+2A-5+2m=0\)

\(\Leftrightarrow Am^2+2m+\left(2A-5\right)=0\)

Để \(PT\) trên có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=1-A\left(2A-5\right)=-2A^2+5A+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{5-\sqrt{33}}{4}\le A\le\frac{5+\sqrt{33}}{4}\)

Kết quả ko đẹp lắm nếu cảm thấy sai thì bạn lại đề; mình giải ko sai đâu

1. \(\left(x+1\right)^3-125\)

\(=\left(x+1\right)^3-5^3\)

\(=\left(x+1-5\right).\left[\left(x+1\right)^2+\left(x+1\right).5+5^2\right]\)

2. \(\left(x+4\right)^3-64\)

\(=\left(x+4\right)^3-4^3\)

\(=\left(x+4-4\right).\left[\left(x+4\right)^2+\left(x+4\right).4+4^2\right]\)

3. \(x^3-\left(y-1\right)^3\)

\(=(x^3-y+1).\left[\left(x^2\right)+x.\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2\right]\)

\(\)4. \(\left(a+b\right)^3-c^3\)

\(=\left[\left(a+b\right)-c\right].\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right).c+c^2\right]\)

5. \(125-\left(x+2\right)^3\)

\(=5^3-\left(x+2\right)^3\)

\(=\left(5-x-2\right).\left[5^2+5.\left(x+2\right)+\left(x+2\right)^2\right]\)

6. \(\left(x+1\right)^3+\left(x-2\right)^3\)

\(=\left[\left(x+1\right)+\left(x-2\right)\right].\left[\left(x+1\right)^2-\left(x+1\right).\left(x-2\right)+\left(x-2\right)^2\right]\)

a)   \(A=12n^2-5n-25\)

\(=12n^2+15n-20n-25\)

\(=3n\left(4n+5\right)-5\left(4n+5\right)\)

\(=\left(3n-5\right)\left(4n+5\right)\)

Do số nguyên tố khi phân tích thành nhân tử bao giờ cũng chỉ gồm 1 và chính nó

nên  A là số nguyên tố thì:   \(\orbr{\begin{cases}3n-5=1\\4n+5=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=2\\n=-1\end{cases}}\)

do n là số tự nhiên nên \(n=2\)

thử lại:  n=2  thì  A = 13 là số nguyên tố

Vậy n = 2

b)  \(B=8n^2+10n+3\)

\(=8n+6n+4n+3\)

\(=2n\left(4n+3\right)+\left(4n+3\right)\)

\(=\left(2n+1\right)\left(4n+3\right)\)

Để B là số nguyên tố thì:   \(\orbr{\begin{cases}2n+1=1\\4n+3=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=-\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Do n là số tự nhiên nên  n = 0

Thử lại: \(n=0\)thì    \(B=3\)là số nguyên tố

Vậy  \(n=0\)

\(4\left|2-x\right|-3\left|4+x\right|=3\)(1)

Ta có bảng xét dấu:

(*) Nếu \(x\le-4\), ta có:

PT (1):\(4\left(2-x\right)-3\left(-4-x\right)=3\)

\(\Leftrightarrow8-4x+12+3x=3\)

\(\Leftrightarrow20-x=3\)

\(\Leftrightarrow-x=-17\)

\(\Leftrightarrow x=17\)( không thỏa mãn )

(*) Nếu \(-4< x\le2\), ta có:

PT (1): \(4\left(2-x\right)-3\left(4+x\right)=3\)

\(\Leftrightarrow8-4x-12-3x=3\)

\(\Leftrightarrow-4-7x=3\)

\(\Leftrightarrow-7x=7\)

\(\Leftrightarrow x=-1\)( thỏa mãn )

(*) Nếu \(x>2\), ta có :

PT (1):\(4\left(2-x\right)-3\left(4+x\right)=3\)

\(\Leftrightarrow-8+4x-12-3x=3\)

\(\Leftrightarrow-20+x=3\)

\(\Leftrightarrow x=23\)( thỏa mãn )

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{23;-1\right\}\)

d) mk chỉnh lại đề

  \(8xy^2-5xyz-24y+15z\)

\(=xy\left(8y-5z\right)-3\left(8y-5z\right)\)

\(=\left(8y-5z\right)\left(xy-3\right)\)

e)   \(x^4-x^3-x+1=\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\)

f)  \(x^4+x^2y^2+y^4=\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy-y^2\right)\)

g)  \(x^3+3x-4=\left(x-1\right)\left(x^2+x+4\right)\)

h)   \(x^3-3x^2+2=\left(x-1\right)\left(x^2-2x-2\right)\)

i)  \(2x^3+x^2-4x-12=\left(x-2\right)\left(2x^2+5x+6\right)\)

k)  \(25x^2\left(x-5\right)-x+y=\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)\left(y-x\right)\)