Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.

Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD

=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)

Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)

Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.

Gọi giao điểm của AH và BE là I.

Xét \(\Delta\)ABE có: ^BAE = 90⁰; AB=AE => \(\Delta\)ABE vuông cân tại A

Ta có: M là trung điểm BE => AM vuông góc BE => ^AMI = 90⁰

Xét \(\Delta\)AIM và \(\Delta\)BIH: ^AMI = ^BHI (=90⁰); ^AIM = ^BIH (Đối đỉnh) 

=> \(\Delta\)AIM ~ \(\Delta\)BIH (g.g) => \(\frac{IM}{IH}=\frac{IA}{IB}\Rightarrow\frac{IM}{IA}=\frac{IH}{IB}\)

Xét \(\Delta\)HIM và \(\Delta\)BIA : \(\frac{IM}{IA}=\frac{IH}{IB}\); ^HIM = ^BIA (Đối đỉnh) => \(\Delta\)HIM ~ \(\Delta\)BIA (c.g.c)

=> ^MHI = ^ABI. Mà ^ABI = ^ABE = 45⁰ (Do \(\Delta\)ABE vuông cân tại A) => ^MHI = 45⁰

Hay ^AHM = 45⁰. Lại có: ^AHC = 90⁰ => ^AHC = 2.^AHM => HM là phân giác ^AHC (đpcm).

Ta có: \(A=\left|x-1\right|+\left|x-7\right|+\left|x-9\right|=\left(\left|x-1\right|+\left|9-x\right|\right)+\left|x-7\right|\ge\left|x-1+9-x\right|+0=8\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(9-x\right)\ge0\\\left|x-7\right|=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}1\le x\le9\\x=7\end{cases}\Leftrightarrow}x=7}\)

Vậy Amin = 8 khi x = 7

Xét từng khoảng ra

Nhân ra thôi chứ sao?

thì bạn nhân đi !

GT=>(2x-y)(x-2y)=0

Do 0<x<y nên x-2y<0

Do đó 2x-y=0 hay 2x=y

Thay y=2x vào E đượcE=-3

Ta có: \(2\left(x^2+y^2\right)=5xy\)

\(x^2+y^2=\frac{5}{2}xy\)

\(E^2=\left(\frac{x+y}{x-y}\right)^2=\frac{\left(x+y\right)^2}{\left(x-y\right)^2}=\frac{x^2+2xy+y^2}{x^2-2xy+y^2}\)

Hay: \(\frac{\frac{5}{2}xy+2xy}{\frac{5}{2}xy+2xy}=\frac{4,5xy}{0,5xy}=9\)

\(\Rightarrow E=\sqrt{9}=\pm3\)

vì 0<x<y

=>E=3

Đề này có vẻ sai sai

biết rằng mn chia tứ giác thành 2 hình có diện tích bằng nhau (mik thiếu chỗ đó)

Ta có: \(A=a^3+b^3+ab\)

\(=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\)

\(=a^2-ab+b^2+ab\)

\(=a^2+b^2\)

Mà a+b=1 =>b=1-a

\(\Rightarrow A=a^2+\left(1-a\right)^2\)

\(=a^2+1-2a+a^2\)

\(=2a^2-2a+1\)

\(=2\left(a^2-a+\frac{1}{2}\right)\)

\(=2\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

\(=2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\)

Ta có : \(2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall a\)

\(\Rightarrow2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall a\)

Hay: \(A\ge\frac{1}{2}\forall a\)

Dấu = xảy ra khi : \(2\left(a-\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow a=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow b=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Vậy MinA =1/2 tại a=b=1/2

Đây mà toán lớp 9 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{ac+bc+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)=-\left(a+b\right)ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)+\left(a+b\right)ab=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

<=> a +  b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0

<=> a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a

Vậy...

Ta có : 

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\left(bc+ca+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Rightarrow\left(bc+ac+ab\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)