Cho a, b nguyên dương thỏa mãn: (1/a)+(1/2b)=1/3
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow ab+bc+ca=0\)
\(a+b+c=1\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=1\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề: Cho a, b, c, d là 4 số dương thoả mãn abcd = 1. Chứng minh rằng: \(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\ge8\)
~ ~ ~ ~ ~
Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:
\(\left(\sqrt{1+a}+\sqrt{1+b}\right)\left(\sqrt{1+c}+\sqrt{1+d}\right)\)
\(\ge2\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\times2\sqrt[4]{\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)
\(=4\sqrt[4]{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\left(1+d\right)}\)
\(\ge4\sqrt[4]{2\sqrt{a}\times2\sqrt{b}\times2\sqrt{c}\times2\sqrt{d}}\)
\(=4\sqrt[4]{16\sqrt{abcd}}\)
= 8 (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(A=\sqrt{1-6x+9x^2}+\sqrt{9x^2-12x+4}\)
\(=\sqrt{\left(1-3x\right)^2}+\sqrt{\left(3x-2\right)^2}\)
\(=\left|1-3x\right|+\left|3x-2\right|\)
\(\ge\left|1-3x+3x-2\right|=\left|-1\right|=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(1-3x\right)\left(3x-2\right)\ge0\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le x\le\frac{2}{3}\)
Vậy \(A_{min}=1\) tại \(\frac{1}{3}\le x\le\frac{2}{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt x+1/x=t thì x^2+1/x^2=t^2-2
Phương trình viết lại:3(t^2-2)-16t(+-)26=0
Sau đó quy về giải phương trình bậc hai là được
Cho a,b nguyên dương thỏa mãn: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{3}\)
Chứng minh rằng: \(a.b\le24\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
\(\Leftrightarrow2P=2x^2-2x\sqrt{y}+2x+2y-2\sqrt{y}+2\)
\(=\left[\left(x^2-2x\sqrt{y}+y\right)+\frac{4}{3}.\left(x-\sqrt{y}\right)+\frac{4}{9}\right]+\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)+\left(y-\frac{2}{3}.\sqrt{y}+\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\)
\(=\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)^2+\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2}{3}\)