Áp dụng BĐT AM - GM, ta có:

\(M=a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(=1+\frac{a+b}{ab}\)

\(\ge1+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}\)

\(=5\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 0,5

x = 4

y = 4

tớ cần lời giải bạn ạ !

a,Nếu a<b thì a-b<0,=>\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right).\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)Hằng đẳng thức.

\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)>0\)với a,b khác nhau \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< 0\left(ĐPCM\right)\)

b,Nếu \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)thì \(\sqrt{a}-\sqrt{b}\)<0,=>(a-b).(a+b)<0 Hằng đẳng thức.

(a+b)>0 với a,b khác nhau (a-b)<0\(\left(ĐPCM\right)\)

Ta có hệ \(\hept{\begin{cases}x+y-2xy=0\left(1\right)\\x+y-x^2y^2=\sqrt{\left(xy-1\right)^2+1}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) ta có \(xy=\frac{x+y}{2}\)

Thé vào (2) ta có \(x+y-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\sqrt{\left(\frac{x+y}{2}-1\right)^2+1}\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}-\left(x+y\right)+2}\)

Đặt \(x+y=a\Rightarrow a-\frac{a^2}{4}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-a+2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{4a-a^2}{4}=\sqrt{\frac{a^2-4a+8}{4}}\)\(\Leftrightarrow\left(\frac{4a-a^2}{4}\right)^2=\frac{a^2-4a+8}{4}\)với đk \(0\le x\le4\)

\(\Rightarrow\frac{16a^2-8a^3+a^4}{16}=\frac{a^2-4a+8}{4}\Leftrightarrow64a^2-32a^3+4a^4=16a^2-64a+128\)

\(\Leftrightarrow4a^4-32a^3+48a^2+64a-128=0\)\(\Leftrightarrow\left(4a^4-8a^3\right)-\left(24a^3-48a^2\right)-\left(64a-128\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)\left(4a^3-24a^2+64\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=2\\a=2+2\sqrt{3};a=2-2\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow a=2\)do \(a=2+2\sqrt{3};a=2-2\sqrt{3}\)không thỏa mãn điều kiện

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\xy=1\end{cases}\Rightarrow x=y=1}\)

Vậy hệ có nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

nhưng khúc cuôi vướng phương trình bậc 3.Đến khúc \(a-\frac{a^2}{4}=\sqrt{\frac{a^2}{4}-a+2}\)

là minh có cách lam khác rồi.

\(A=\left(\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}\right)-\frac{3\sqrt{ab}}{a+b}\ge2\sqrt{\frac{4\sqrt{ab}\left(a+b\right)}{\sqrt{ab}\left(a+b\right)}}-\frac{3\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}\frac{a+b}{\sqrt{ab}}=\frac{4\sqrt{ab}}{a+b}\\\left(a+b\right)^2=4ab\end{cases}\Leftrightarrow a=b}\)

a) ĐK : a > = 0 ; a + 1 # 0 ; căn a - 1 # 0 <=> a >= 0 ; a # 1 
Mẫu số = 1/(căn a - 1) - 2.căn a / [(a.căn a - a) + (căn a - 1)] 
= 1/(căn a - 1) - 2.căn a / [(a + 1)(căn a - 1)] 
= [(a + 1) - 2.căn a] / [(a + 1)(căn a - 1)] 
= (căn a - 1)^2 / [(a + 1)(căn a - 1)] 
= (căn a - 1) / (a + 1) 
Tử số = (a + 1 + căn a) / (a + 1) 
=> B = [(a + 1 + căn a) / (a + 1)] : [(căn a - 1) / (a + 1)] 
= (a + căn a + 1) / (căn a - 1) 

b) a = 19 - 8.căn3 = 16 - 2.4.căn3 + 3 = (4 - căn3)^2 
B = ( 19 - 8.căn3 + 4 - căn3 + 1) / (4 - căn3 - 1) 
= (24 - 9.căn3) / (3 - căn3) 
= [(24 - 9.căn3)(3 + căn3)] / [(3 - căn3)(3 + căn3)] 
= (45 - 3.căn3) / 6 = (15 - căn3) / 2 

NHỚ TK MK NHA , MK ĐANG ÂM ĐIỂM

a^2+18/a=a^2/24+9/a+9/a+23a^2/24(phương pháp điểm rơi)

>=3 căn bậc 3(a^2/24.a/9.a/9)+23a^2/24>=3.căn bậc 3 của 81/24+23a^2/24

>=3.3/2+23.a^2/24>=9/2+23.6^2/24(do a>=6)

>=9/2+69/2=78/2=39

Dấu = xảy ra khi a^2/24=a/9=a/9 khi và chỉ khi a=6(TMĐK)

x+√(x^2+3)=3/(y+√(y^3))=3(y-√(y^2+3)/-a(trục căn thức)

x+√(x^2+3)=-y+√(y^2+3) suy ra x+y=√(y^2+3)-√(x^2+3)(1)

Tương tự,x+y=√(x^2+3)-√(y^2+3)(2)

Cộng (1),(2) theo vế suy ra 2(x+y)=0 suy ra x+y=0

hay E=0.

Vậy E=0

nhân \(-x+\sqrt{x^2+3}\)  vào 2 vế ta đc : \(\left(-x^2+x^2+3\right)\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=\)\(3\left(-x+\sqrt{x^2+3}\right)\)
                         <=>  \(y+\sqrt{y^2+3}=-x+\sqrt{x^2+3}\)<=> \(y+\sqrt{y^2+3}+x-\sqrt{x^2+3}=0\)__(1)___
làm tương tự ta đc \(\left(-y+\sqrt{y^2+3}\right)\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)\)\(=3\left(-y+\sqrt{y^2+3}\right)\)
                          <=> \(x+\sqrt{x^2+3}=-y+\sqrt{y^2+3}\)<=> \(x+\sqrt{x^2+3}+y-\sqrt{y^2+3}=0\)__(2)__
       lấy (1) + (2) => 2(x+y) =0 => x+y=0        
   lấy