Bài 1) 

a) Trong ∆ cân ABC có AH  là trung trực đồng thời là phân giác và trung tuyến

=> BAH = CAH 

Xét ∆ ABD và ∆ ACD ta có : 

AB = AC (∆ABC cân tại A) 

AD chung 

BAH = CAH (cmt) 

=> ∆ABD = ∆ACD (c.g.c)

=> BD = CD 

=> ∆BDC cân tại D 

* NOTE : Trong ∆ vuông BDH có DH < BD ( trong tam giác vuông ; cạnh góc vuông luôn luôn nhỏ hơn cạnh huyền )

Mà DH = HG 

=> DG < DB 

=> DG ko thể = BD và DC 

b) Xét ∆ABG và ∆ACG ta có : 

AG chung

BAH = CAH (cmt)

AB = AC (cmt)

=> ∆ABG = ∆ACG (c.g.c)(dpcm)

c) Vì AH = 9cm (gt)

Mà AD = 2/3AH 

=> AD = 6cm

=> DH = 9 - 6 = 3 cm

Mà AH là trung tuyến BC 

=> BH = HC = BC/2 = 4 cm 

Áp dụng định lý Py ta go vào ∆ vuông BHD ta có 

=> BD = 5 cm

Bài 2) Áp dụng định lý Py ta go vào ∆ vuông ABC ta có : 

BC = 10 cm

b) Xét ∆ vuông ABM và ∆ vuông BMC ta có : 

BM chung 

ABM = CBM ( BM là phân giác) 

=> ∆ABM = ∆BMC ( ch - gn )

c) Vì ∆ABM = ∆BMC (cmt)

=> AM = NM 

Xét ∆ vuông APM và ∆ MNC ta có :

AM = NM (cmt)

AMP = NMC ( đối đỉnh) 

=> ∆APM = ∆MNC ( cgv - gn )

d) Vì ∆ APM = ∆MNC (cmt)

=> PM = MC 

=> ∆MPC cân tại M

Mà K là trung điểm PC 

=> MK là trung tuyến đồng thời là trung trực và là phân giác ∆PMC 

=> MK vuông góc với PC 

=> M; K thẳng hàng 

Mà BM là phân giác ABC 

=> B ; M thẳng hàng 

=> B ; M ; K thẳng hàng 

nhanh giúp mik vs

#)Giải :

Ta có : \(\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{20}>\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{20}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}< \frac{5}{6}\)(có 10 số \(\frac{1}{20}\))

\(\Rightarrow\frac{1}{11}+\frac{1}{12}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{20}< \frac{5}{6}\)

Hay \(S< \frac{5}{6}\left(đpcm\right)\)

\(x-\left(7-x\right)=x-25.\)

\(x-7+x=x-25.\)

\(2x-7=x-25.\)

\(2x-x=7-25.\)

\(x=-18\)

x - (7 - x) = x - 25

<=> -7 + x = -25

<=> x - 7 = -25

<=> x = -25 + 7

<=> x = -18

#)Giải : (Bài này ez mak :v)

\(\frac{a+2}{a-2}=\frac{b+3}{b-3}\)

\(\Rightarrow\left(a+2\right)\left(b-3\right)=\left(a-2\right)\left(b+3\right)\)(bước này mk làm tắt đi nhé)

\(\Rightarrow3a=2b\)

\(\Rightarrow\frac{a}{2}=\frac{b}{3}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có: \(\frac{a+2}{a-2}=\frac{b+3}{b-3}\)

=> \(\frac{\left(a-2\right)+4}{a-2}=\frac{\left(b-3\right)+6}{b-3}\)

=> \(1+\frac{4}{a-2}=1+\frac{6}{b-3}\)

=> \(\frac{4}{a-2}=\frac{6}{b-3}\)

=> \(4\left(b-3\right)=6\left(a-2\right)\)

=> \(4b-12=6a-12\)

=> \(4b=6a\)

=> \(2b=3a\)

=> \(\frac{b}{3}=\frac{a}{2}\)

1.Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền.

Ta có \(a^2+b^2=c^2;a,b,c\in\)N* , diện tích tam giác ABC là \(S=\frac{ab}{2}\)

Trước hết ta chứng minh ab chia hết cho 12.

+ Chứng minh \(ab⋮3\): Nếu cả a và b đồng thời không chia hết cho 3 thì \(a^2+b^2\)chia 3 dư 2. Suy ra số chính phương \(c^2\)chia 3 dư 2, vô lí.

+ Chứng minh \(ab⋮4\): - Nếu a,b chẵn thì \(ab⋮4\)

- Nếu trong hai số a,b có số lẻ, chẳng hạn a lẻ.

Lúc đó c lẻ. Vì nếu c chẵn thì \(c^2⋮4\), trong lúc \(a^2+b^2\)không thể chia hết cho 4. Đặt \(a=2k+1,c=2h+1,k,h\in N\)

Ta có: \(b^2=\left(2h+1\right)^2-\left(2k+1\right)^2=4\left(h-k\right)\left(h+k+1\right)\)

               \(=4\left(h-k\right)\left(h-k+1\right)+8k\left(h-k\right)⋮8\)

Suy ra \(b⋮4\). Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối các điểm chia với C thì tam giác ABC được chia thành 6 tam giác, mỗi tam giác có diện tích bằng \(\frac{ab}{2}\)là một số nguyên.

2. Với \(a\in Z,\)ta có: \(P\left(a\right)=a^5-3a^4+6a^3-3a^2+9a-6\)

Nếu a chia hết cho 3 thì tất cả các số hạng trong P(a) đều chia hết cho 9, trừ số hạng cho 6, do đó P(a) không chia hết cho 9, nghĩa là \(P\left(a\right)\ne0\).

Nếu a không chia hết cho 3 thì \(a^5\)không chia hết cho 3 trong khi tất cả các số hạng khác trong P(a) đều chia hết cho 3, do đó P(a) không chia hết cho 3, nghĩa là \(P\left(a\right)\ne0\). Vậy \(P\left(a\right)\ne0\)với mọi \(a\in Z\).

\(a,A=\left(x+2\right)^2+37\)

\(A_{min}=37\Leftrightarrow\left(x+2\right)^2=0\Rightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)

\(b,B=2\left(x-3\right)^2-30\)

\(B_{min}=-30\Leftrightarrow2\left(x-3\right)^2=0\Rightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

\(e,E=-\left(x+2\right)^2+37\)

\(E_{max}=37\Leftrightarrow-\left(x+2\right)^2=0\Rightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\)