Cho a,b,c la số đo của các góc nhọn thỏa mãn cos2 a + cos2 b+ cos2 c \(\ge\)2. CMR (tan a*tan b* tan c)2 \(\le\)1/8
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
*)Maximize : Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2\le\left(1+1\right)\left(x+1+y+1\right)=2\left(x+y+2\right)\)
Và \(VP^2=\left(\sqrt{2}\left(x+y\right)\right)^2=2\left(x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\le2\left(x+y+2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x+y-2\right)\left(x+y+1\right)\le0\)
\(\Rightarrow-1\le P=x+y\le2\)
Khi \(x=y=1\) thì \(P_{Max}=2\)
*)Minimize: Áp dụng BĐT Karamata ta có:
\(VT=\sqrt{2}\left(x+y\right)=\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=VP\)
\(\ge\sqrt{0}+\sqrt{x+1+y+1}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}\left(x+y\right)\ge\sqrt{x+1+y+1}\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2\ge\left(x+y\right)+2\)
\(\Rightarrow2\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)-2\ge0\)
\(\Rightarrow P=x+y\ge\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)
Khi \(x=\frac{5+\sqrt{17}}{4};y=-1\) thì \(P_{Min}=\frac{1+\sqrt{17}}{4}\)
#Vỗ tay coi :))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{4x-3}{5}\\x+3y=\frac{15-9y}{14}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-\frac{4x}{5}=-\frac{3}{5}\\x+3y+\frac{9y}{14}=\frac{15}{14}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{5}+y=-\frac{3}{5}\\x+\frac{51y}{14}=\frac{15}{14}\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+5y=-3\\x+\frac{51y}{14}=\frac{15}{14}\end{cases}\Leftrightarrow5y-\frac{51y}{14}=-3-\frac{15}{14}\Leftrightarrow\frac{19}{14}y=-\frac{57}{14}\Rightarrow y=-3}\)
\(x-15=-3\Rightarrow x=12\)
Vậy \(x=12;y=-3\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Svacsơ ta có :
\(P=\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{y+z}+\frac{x^2}{x+z}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
ta lại có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)( bunhiacopxki )
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+xz\right|\ge xy+yz+xz\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\ge3xy+3yz+3zx\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)=3\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\) có GTNN là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) tại \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Huỳnh Nguyên Phát bn tham khảo ở đây nhé. Tham khảo thôi đừng chép nhé
{ x²+1 + y(x+y-2) = 2y
{ (x²+1).y(x+y-2) = y²
đặt u = x²+1 ; v = y(x+y-2) ta có:
{ u + v = 2y => { u²+v² + 2uv = 4y²
{ uv = y² -------- { 4uv = 4y²
trừ vế theo vế => u²+v² - 2uv = 0 <=> (u-v)² = 0 <=> u = v. vậy ta có hệ:
{ x²+1 = y(x+y-2)
{ x²+1 + y(x+y-2) = 2y
<=> { x²+1 = y(x+y-2) = y
thấy y = x²+1 > 0 nên từ trên => x+y-2 = 1 (giản ước cho y) <=> y = 3-x
=> x²+1 = y = 3-x <=> x²+x-2 = 0 <=> x = 1 hoặc x = -2, thay lại tìm y
hệ có 2 nghiệm là: (1, 2) ; (-2, 5)
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
2) { x² + 2y² = 2y - 2xy + 1
{ 3x² + 2xy - y² = 2x-y+5
cộng vế theo vế: 4x² + y² + 4xy = 2x + y + 6 <=> (2x+y)² - (2x+y) - 6 = 0
<=> 2x+y = -2 hoặc 2x+y = 3
<=> y = -2x-2 hoặc y = -2x+3
Từ \(2\sqrt{2x+y}=3-2x-y\)
\(\Leftrightarrow4\left(2x+y\right)=4x^2+4xy-12x+y^2-6y+9\)
\(\Leftrightarrow-4x^2-4xy+20x-y^2+10y-9=0\)
\(\Leftrightarrow16-\left(2x+y-5\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(2x+y-9\right)\left(2x+y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=9-2x\\y=1-2x\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-2x\left(9-2x\right)-\left(9-2x\right)^2=6\\x^2-2x\left(1-2x\right)-\left(1-2x\right)^2=6\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+18x-87=0\\x^2+2x-7=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1-2\sqrt{2}\\y=3+4\sqrt{2}\end{cases}};\hept{\begin{cases}x=2\sqrt{2}-1\\y=3-4\sqrt{2}\end{cases}}\)