a/ Ta chứng minh: \(B=\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{2n}+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2n}=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n\) là số nguyên với mọi n

Với \(n=0\Rightarrow B=2\)

Với \(n=1\Rightarrow B=10\)

Giả sử nó đúng đến \(n=k\) hay

\(\hept{\begin{cases}\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}=a\\\left(5+2\sqrt{6}\right)^k+\left(5-2\sqrt{6}\right)^k=b\end{cases}}\) \(\left(a,b\in Z\right)\)

Ta chứng minh nó đúng đến \(n=k+1\)

Ta có: \(\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k+1}+\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k+1}\)

\(=\left(5+2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5-2\sqrt{6}\right)^k\right)+\left(5-2\sqrt{6}\right)\left(b-\left(5+2\sqrt{6}\right)^k\right)\)

\(=b\left(5+2\sqrt{6}\right)-\left(5-2\sqrt{6}\right)^{k-1}+b\left(5-2\sqrt{6}\right)-\left(5+2\sqrt{6}\right)^{k-1}\)

\(=10b-a\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

b/ Đặt \(S_n=\left(5+2\sqrt{6}\right)^n+\left(5-2\sqrt{6}\right)^n=x^n+y^n\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}x^2=10x-1\\y^2=10y-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S_{n+2}=x^{n+2}+y^{n+2}=10\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)-\left(a^n+b^n\right)=10S_{n+1}-S_n\)

\(\Rightarrow S_{n+2}+S_n=10S_{n+1}⋮10\)

Tương tự cũng có: \(S_{n+4}+S_{n+2}=10S_{n+3}⋮10\) 

\(\Rightarrow S_{n+4}-S_n⋮10\)

Từ đây ta thấy được \(S_{n+4}\equiv S_n\left(mod10\right)\)

Mà \(S_0=2\)

Vậy với mọi n chia hết cho 4 thì số tận cùng của B là 2.

Quay lại bài toán ta thấy \(1004⋮4\) nên M sẽ có chữ số tận cùng là 2.

\(\sqrt{25x+75}+3\sqrt{x-2}-2+4\sqrt{x+3}\)\(+\sqrt{9x-18}\)

= \(5\sqrt{x+3}+3\sqrt{x-2}-2+4\sqrt{x+3}+3\sqrt{x-2}\)

= \(9\sqrt{x+3}+6\sqrt{x-2}-2\)

\(\frac{3}{2+\sqrt{-x^2+2x+7}}\)=\(\frac{3}{2+\sqrt{8-\left(x-1\right)^2}}\)\(\le\)\(\frac{3}{2+\sqrt{8}}\)

dấu bằng khi x=1

Giải 2 bài luôn

Rút gọn:

\(Y=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{99}-\sqrt{100}}\)

\(Y=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+....+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(Y=\sqrt{10}-1\)

\(Y=9\)

Tính:

\(Y=\frac{2014}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{2014}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+....+\frac{2014}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(Y=\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(Y=\sqrt{10}-1\)

\(Y=9\)

\(Y=2014.9\)

\(Y=18126\)

Y=\(\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}\)

\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{2}-\sqrt{3}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}\)

\(=-1+\sqrt{100}=\sqrt{100}-1=10-1=9\)

4 \(x\sqrt{y-1}=\sqrt{x}\sqrt{xy-x}\le\frac{xy}{2}\)

5. cosi 1+x^2>=2x

=>(1+x^2)^2>=4x^2

1+1/y^4>=2/y^2

=>8>=8x^2/y^2

=>y^2>=x^2

cm tt => x^2>=y^2

c10 \(\sqrt{x^2-y^2-2x-2y}=\sqrt{\left(x-y\right)\left(x+y-2\right)}\le x-1\)

c13 pt 2 vô n

Đề giống sai quá. Đã cho hệ mà còn cho 2 ẩn độc lập với nhau vậy. Nếu độc lập vậy thì cho phương trình chứ cho hệ làm chi