Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: a-1, a, a+1 
Giả sử b³= (a - 1)²+a²+(a + 1)² 
= 3a²+2 => chia 3 dư 2 
=> b chia 3 dư 2 => b=3k+2 
=> (3k + 2)³ = 3a² + 2 
=>27k^3+54k^2+36k+8=3a^2+2 
=>a² = 9k(k+1)²+(3k+2) 
NX: ta có vế trái là một số chia 3 dư 2 
Mà vế phải là một số chính phương, nên chia 3 chỉ có 2 khả năng dư 1 hoăc dư 0=> vô lý 
vậy ta có điều cần phải C/m.

e mới lớp 7 sr anh

\(x^2-2x+4=3\sqrt{3x^2-6x+4}\)

\(< =>\left(x^2-2x+1\right)-3\sqrt{3x^2-6x+4}=0\)

Đến đây bạn chỉ cần xét th = 0 với khác 0 thôi 

ta có: \(x-\frac{91}{y}=2\)

<=> \(xy-91=2y\) ( với \(y\ne0\))

<=>\(y\left(x-2\right)=91\)

đến đây tự giải đc rồi nha!

Tính góc A (= 130 độ ). tam giác ACP vuông tại P => AP = cot A .CP   (1)

                                    tam giác BCP vuông tại P => BP = cot B . CP     (2)

(1) +(2) => AP + BP =cot A .CP +cot B . CP

             <=> AB = CP( cot A + cot B)

              <=>60= CP ( cot 130 + cot 20 )

                => CP xấp xỉ 31.4

từ đó có thể dễ dàng tính ra AP và BP

Ta có : \(\frac{1}{c+2}=1-\frac{1}{a+2}-\frac{1}{b+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}\right)\)

                         \(=\frac{a}{2\left(a+2\right)}+\frac{b}{2\left(b+2\right)}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\)

tương tự : \(\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ca}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}\)

                  \(\frac{1}{a+2}\ge\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)

Nhân vế theo vế \(\Rightarrow dpcm\)

ta có: \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\)    (1)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\ge\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)   luôn đúng

=> (1) luôn đúng => đpcm

 ko bít ????????????????????????????______________________________________????????????????????????????????????????

Áp dụng bđt Holder, ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right).\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right)\left[a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+c^2a^2\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\left(ab+bc+ca\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{8}\)

=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^4+a^4b^2+b^2c^4+b^4c^2+c^2a^4+c^4a^2}\)

Đặt a²=x, b²=y, c²=z

=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\)(1)

Theo bđt Schur, ta có:

\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)

<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\)

<=>\(x^3+y^3+z^3+6xyz+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\ge4.\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)+3xyz\)

Vì \(xyz=\left(abc\right)^2\ge0\)

=>\(\left(x+y+z\right)^3\ge4\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\)

=>\(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\ge4\)

Thay vào (1)=>\(VT^2\ge\frac{1}{2}=>VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

=>ĐPCM

a,b,c>=0 mới được nhé

Đặt biểu thức là A

\(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}>=\frac{\sqrt{2abab}}{a^2}=\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}\)

Dấu = xảy ra khi có một trong 2 số a,b =0 hoặc a=b.

Tương tự=> A>=\(\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2}bc}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2}ca}{a^2+c^2}\)

\(\sqrt{2}A>=\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\)

\(\sqrt{2}A+3>=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}.\)

>=\(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=4.\)

=>A>=1/căn 2

Dấu = xảy ra khi 2 số bằng nhau, một số =0