Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số nguyên liên tiếp không phải là bình phương của một số nguyên
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2-2x+4=3\sqrt{3x^2-6x+4}\)
\(< =>\left(x^2-2x+1\right)-3\sqrt{3x^2-6x+4}=0\)
Đến đây bạn chỉ cần xét th = 0 với khác 0 thôi
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có: \(x-\frac{91}{y}=2\)
<=> \(xy-91=2y\) ( với \(y\ne0\))
<=>\(y\left(x-2\right)=91\)
đến đây tự giải đc rồi nha!
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tính góc A (= 130 độ ). tam giác ACP vuông tại P => AP = cot A .CP (1)
tam giác BCP vuông tại P => BP = cot B . CP (2)
(1) +(2) => AP + BP =cot A .CP +cot B . CP
<=> AB = CP( cot A + cot B)
<=>60= CP ( cot 130 + cot 20 )
=> CP xấp xỉ 31.4
từ đó có thể dễ dàng tính ra AP và BP
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có : \(\frac{1}{c+2}=1-\frac{1}{a+2}-\frac{1}{b+2}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{a+2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{b+2}\right)\)
\(=\frac{a}{2\left(a+2\right)}+\frac{b}{2\left(b+2\right)}\ge\sqrt{\frac{ab}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}}\)
tương tự : \(\frac{1}{b+2}\ge\sqrt{\frac{ca}{\left(c+2\right)\left(a+2\right)}}\)
\(\frac{1}{a+2}\ge\sqrt{\frac{bc}{\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Nhân vế theo vế \(\Rightarrow dpcm\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ta có: \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\ge x\sqrt{y}+y\sqrt{x}\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)\ge\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) luôn đúng => đpcm
ko bít ????????????????????????????______________________________________????????????????????????????????????????
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt Holder, ta có:
\(\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right).\left(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}+\sqrt{\frac{bc}{b^2+c^2}}+\sqrt{\frac{ca}{c^2+a^2}}\right)\left[a^2b^2\left(a^2+b^2\right)+b^2c^2\left(b^2+c^2\right)+c^2a^2\left(c^2+a^2\right)\right]\ge\left(ab+bc+ca\right)^3=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{8}\)
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^4+a^4b^2+b^2c^4+b^4c^2+c^2a^4+c^4a^2}\)
Đặt a2=x, b2=y, c2=z
=>\(VT^2\ge\frac{1}{8}.\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\)(1)
Theo bđt Schur, ta có:
\(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\)
<=>\(x^3+y^3+z^3+6xyz+3\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\ge4.\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)+3xyz\)
Vì \(xyz=\left(abc\right)^2\ge0\)
=>\(\left(x+y+z\right)^3\ge4\left(x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2\right)\)
=>\(\frac{\left(x+y+z\right)^3}{x^2y+xy^2+y^2z+y^2z+z^2x+zx^2}\ge4\)
Thay vào (1)=>\(VT^2\ge\frac{1}{2}=>VT\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
=>ĐPCM
a,b,c>=0 mới được nhé
Đặt biểu thức là A
\(\sqrt{\frac{ab}{a^2+b^2}}=\frac{\sqrt{ab\left(a^2+b^2\right)}}{a^2+b^2}>=\frac{\sqrt{2abab}}{a^2}=\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}\)
Dấu = xảy ra khi có một trong 2 số a,b =0 hoặc a=b.
Tương tự=> A>=\(\frac{\sqrt{2}ab}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{2}bc}{b^2+c^2}+\frac{\sqrt{2}ca}{a^2+c^2}\)
\(\sqrt{2}A>=\frac{2ab}{a^2+b^2}+\frac{2bc}{b^2+c^2}+\frac{2ca}{c^2+a^2}\)
\(\sqrt{2}A+3>=\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}+\frac{\left(b+c\right)^2}{b^2+c^2}+\frac{\left(c+a\right)^2}{c^2+a^2}.\)
>=\(\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=4.\)
=>A>=1/căn 2
Dấu = xảy ra khi 2 số bằng nhau, một số =0
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Gọi 3 số nguyên liên tiếp là: a-1, a, a+1
Giả sử b3= (a - 1)2+a2+(a + 1)2
= 3a2+2 => chia 3 dư 2
=> b chia 3 dư 2 => b=3k+2
=> (3k + 2)3 = 3a2 + 2
=>27k^3+54k^2+36k+8=3a^2+2
=>a2 = 9k(k+1)2+(3k+2)
NX: ta có vế trái là một số chia 3 dư 2
Mà vế phải là một số chính phương, nên chia 3 chỉ có 2 khả năng dư 1 hoăc dư 0=> vô lý
vậy ta có điều cần phải C/m.