Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x2+y2+z2=1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của \(C=\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bài 2
(bài này là đề thi olympic Toán,Ireland 1997),nhưng cũng dễ thôi
Giả sử ngược lại \(a^2+b^2+c^2< abc\)
khi đó \(abc>a^2+b^2+c^2>a^2\)nên \(a< bc\)
Tương tự \(b< ac,c< ab\)
Từ đó suy ra :\(a+b+c< ab+bc+ac\left(1\right)\)
mặt khác ta lại có:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)nên
\(abc>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow abc>ab+ac+bc\left(2\right)\)
Từ (1),(2) ta có\(abc>a+b+c\)(trái với giả thuyết)
Vậy bài toán được chứng minh
3)để đơn giản ta đặt \(x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}\).Khi đó \(x,y,z>0\)
và \(xy+yz+xz\ge1\)
ta phải chứng minh có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức sau đúng
\(2x+3y+6z\ge6,2y+3z+6x\ge6,2z+3x+6y\ge6\)
Giả sử khẳng định này sai,tức là có ít nhất hai trong ba bất đẳng thức trên sai.Không mất tính tổng quát,ta giả sử
\(2x+3y+6z< 6\)và \(2y+3z+6x< 6\)
Cộng hai bất đẳng thức này lại,ta được:\(8x+5y+9z< 12\)
Từ giả thiết \(xy+yz+xz\ge1\Rightarrow x\left(y+z\right)\ge1-yz\)
\(\Rightarrow x\ge\frac{1-yz}{y+z}\)Do đó
\(8\frac{1-yz}{y+z}+5y+9z< 12\Leftrightarrow8\left(1-yz\right)+\left(5y+9z\right)\left(y+z\right)< 12\left(y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow5y^2+6yz+9z^2-12y-12z+8< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(y+3z-2\right)^2+4\left(y-1\right)^2< 0\)(vô lý)
mâu thuẫn này chứng tỏ khẳng định bài toán đúng.Phép chứng minh hoàn tất.
Ta có: BC^2 = AB^2 + AC^2
= 12^2 + 16^2 = 400
=> BC = √400 = 20 (cm)
Δ ABC vuông có đường cao AH:
=> AB^2 = BH.BC
=> BH = AB^2/BC = 12^2/20 = 7.2 (cm)
=> CH = 20 - 7.2 = 12.8 (cm)
Ta có: AD là phân giác
=> BD/CD = AB/AC
=>( BD + CD)/CD = (AB + AC)/AC
=> 20/CD = 28/16
=> CD = 80/7
=> HD = CH - CD
= 12.8 - (80/7)
= 48/35 (cm)
HB bạn kia tính đúng rồi, mình chỉ tính lại HD thôi nhá
AH= \(\sqrt{12^2-7,2^2}\)= 9,6
cosB = \(\frac{BH}{AB}\)= \(\frac{7,2}{12}\)= 0,6 => B = 59 độ
\(\widehat{BAH}\)= 180-90-59= 31 độ
\(\widehat{HAD}\)= 90 :2 -31 = 14 độ
tan14= \(\frac{HD}{AH}\)= \(\frac{HD}{9,6}\)= 0,22 (tan14=0,22)
=> HD= 2,112 cm
bạn vẽ hình nha mk ko biết vẽ sorry
Áp dung định lí pytago vào tam giác ABC vuông tại A đường cao AH ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\)
hay \(4^2+3^2=BC^2\)
\(\Rightarrow BC^2=16+9\)
\(\Rightarrow BC^2=25\)
\(\Rightarrow BC=5\left(cm\right)\)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường vào tam giác vuông \(ABC\)vuông tại \(A\) đường cao \(AH\) ta có:
+ \(AB^2=BH.BC\)
hay \(4^2=HB.5\)
\(\Rightarrow HB=16:5\)
\(\Rightarrow HB=3,2\left(cm\right)\)
+ \(AC^2=HC.BC\)
hay \(3^2=HC.5\)
\(\Rightarrow HC=9:5\)
\(\Rightarrow HC=1,8\left(cm\right)\)
vậy \(HB=3,2cm\)
\(HC=1,8cm\)
\(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\Rightarrow P\le3-\frac{3}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\le3-\frac{3}{\frac{x+1+y+1+z+1}{3}}=3-\frac{3}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(x=y=\frac{1}{3}\)
P = (x +1 -1)/(x +1) + (y +1 -1)/(y +1) + (z +1 -1)/ (z+1)
= 3 - [ 1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ]
Áp dụng bđt cô si cơ bản, ta có:
[(x +1) + (y +1) + (z +1)]. [1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ] ≥9
=> 1/(x+1) + 1/(y +1) + 1/(z +1) ≥ 9/4 ( do x + y + z =1)
=> P ≤ 3/4
Dấu " =" xảy ra <=> x = y = z = 1/3
Vậy maxP = 3/4
Ở đây, trước hết bạn phải chứng minh được bđt cô si cơ bản:
Cho x, y, z >0, ta có:
(x +y +z) (1/x +1/y +1/z) ≥ 9
Chứng minh nhanh như sau:
Theo bđt cô si đã biết, ta có: x + y + z ≥ 3∛(xyz) và 1/x +1/y + 1/z ≥ 3∛ [1/(xyx)]
⇒(x + y + z)(1/x + 1/y +1/z) ≥ 3∛(xyz) . 3∛[1/(xyx)] =9
Dấu “=” của bđt xảy ra ⇔ x = y = z
a, dùng định lý pytago
b, dùng tỉ số lượng giác nhé
c, mình chưa tìm ra , sorry bạn
bạn nhớ vẽ luôn hình là tam giác vuông nhé !
\(\hept{\begin{cases}x-y+1=0\\2x^2-xy+3y^2-7x-12y+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y-1\\2x^2-xy+3y^2-7x-12y+1=0\end{cases}}\)
Thế phương trình trên vào phương trình dưới, ta có:
\(2\left(y-1\right)^2-\left(y-1\right)y+3y^2-7\left(y-1\right)-12y+1=0\)\(\Leftrightarrow2y^2-4y+2-y^2+y+3y^2-7y+7-12y+1=0\)
\(\Leftrightarrow4y^2-22y+10=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=5\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Với y = 5 thì x = 5 - 1 = 4
Với \(y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}\)
Vậy hệ có 2 nghiệm \(\left(4;5\right)\) và \(\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Ta có : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(1^2+1^2+1^2\right)\le\left(x.1+y.1+z.1\right)^2\) (bđt Bunhiacopxki)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) hay \(1\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\Rightarrow x+y+z\ge\sqrt{3}\) (do x;y;z dương)
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{yz}{x}}=2y\)
\(\frac{xy}{z}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}.\frac{xz}{y}}=2x\)
\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2\sqrt{\frac{yz}{x}.\frac{xz}{y}}=2z\)
Cộng vế với vế ta được :
\(2C\ge2\left(x+y+z\right)=2\sqrt{3}\Rightarrow C\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Đức Hùng hình như áp dụng sai ( ngược dấu ) BĐT Bunhiacopxki rồi