Đặt \(\sqrt{1-x}=a\Rightarrow a^2=1-x\)

         \(\sqrt{1+x}=b\Rightarrow b^2=1+x\)

\(\Rightarrow a^2+b^2=2\)

ta có: \(P=\frac{2017-2015x}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2015\left(1-x\right)+2}{\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}}\)

\(\Rightarrow P=\frac{2015.a^2+a^2+b^2}{ab}=\frac{2016a^2+b^2}{ab}\ge\frac{2.ab.\sqrt{2016}}{ab}=2\sqrt{2016}\)

=> GTNN của P là \(2\sqrt{2016}\)<=>\(a\sqrt{2016}=b\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-x\right).2016}=\sqrt{1+x}\)

                                                                                                \(\Leftrightarrow x=\frac{2015}{2017}\)

lần đầu mình vẻ hình ra rồi tính hb có cạnh hb mình có thể suy ra hb = ob vì nó cùng cắt tại 1 điểm và các điểm đó là đường trung tuyến

Với a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3, ta có: \(\Sigma\frac{a}{ab+1}=\Sigma\left(a-\frac{a^2b}{ab+1}\right)\ge3-\Sigma\frac{a^2b}{2\sqrt{ab}}\)

\(=3-\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{a^3b}\)

Ta đi chứng minh BĐT phụ sau: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

Đặt \(\left(a^2+bc-ab;b^2+ca-bc;c^2+ab-ca\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Áp dụng BĐT quen thuộc sau: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\), ta được:

(*)

(Mình gõ bằng chương trình Universal Math Solver, không hiện ảnh thì vô thống kê hỏi đáp của mình, chiều ngày 31/5/2020)

Khai triển VP của BĐT (*), ta được biểu thức: \(3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

Vậy ta được ​\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^3b+b^3c+c^3a\right)\)

​Áp dụng, ta được: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\)

\(\Rightarrow3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{a^3b}+\sqrt{b^3c}+\sqrt{c^3a}\right)\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

hay \(\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ca+1}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

tôi yêu đảng / yêu nước việt nam / hồ chí minh muôn năm

\(A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{x-3\sqrt{x}+2}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) \(+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{x-4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{2x-5\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\) \(+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{x-4\sqrt{x}+3-2x+5\sqrt{x}-2+x-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(A=\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

vậy \(A=\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

A có nghĩa khi \(\sqrt{x}-2>0\)

                    \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\)

                      \(\Leftrightarrow x=4\)

vậy \(x=4\) thì A có nghĩa

b) theo ý a) \(A=\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

theo bài ra \(A>2\) \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-2}>2\)

                                     \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-2}-2>0\)

                                      \(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}>0\)

                                      \(\Leftrightarrow\frac{1-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}>0\)

                                      \(\Leftrightarrow\frac{5-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5-2\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\)  hoặc \(\hept{\begin{cases}5-2\sqrt{x}< 0\\\sqrt{x}-2< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-2\sqrt{x}>-5\\\sqrt{x}>2\end{cases}}\) hoặc \(\hept{\begin{cases}-2\sqrt{x}< -5\\\sqrt{x}< 2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< \frac{25}{4}\\x>4\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x>\frac{25}{4}\\x< 4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}4< x< \frac{25}{4}\\x\notin\varnothing\end{cases}}\)

vậy \(4< x< \frac{25}{4}\) thì \(A>2\)

mình sửa lại chút chỗ dòng thứ 2 từ dưới lên

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}4< x< \frac{25}{4}\\x\in\varnothing\end{cases}}\)

mải quá nên mình ấn mhầm cho mk xin lỗi

\(\frac{1}{2+a^2b}+\frac{1}{2+b^2c}+\frac{1}{2+c^2a}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{2+a^2b}+\frac{2}{2+b^2c}+\frac{2}{2+c^2a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le3\)

\(\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{a^2b}{3\sqrt[3]{a^2b}}=\frac{\sqrt[3]{a^4b^2}}{3}=\frac{a\sqrt[3]{ab^2}}{3}\)

Tương tự thì ta cần chứng minh \(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^2}\le6\)

Oke phần còn lại dành cho bạn ;D

Khúc cuối nhầm kìa bác Coolkid

\(a\sqrt[3]{ab^2}+b\sqrt[3]{bc^2}+c\sqrt[3]{ca^3}\le3\)

Giải như sau.

(1)+(2)⇔x2−2x+1+√x2−2x+5=y2+√y2+4⇔(x2−2x+5)+√x2−2x+5=y2+4+√y2+4⇔√y2+4=√x2−2x+5⇒x=3y(1)+(2)⇔x2−2x+1+x2−2x+5=y2+y2+4⇔(x2−2x+5)+x2−2x+5=y2+4+y2+4⇔y2+4=x2−2x+5⇒x=3y

⇔√y2+4=√x2−2x+5⇔y2+4=x2−2x+5, chỗ này do hàm số f(x)=t2+tf(x)=t2+t đồng biến ∀t≥0∀t≥0
Công việc còn lại là của bạn !