Gọi số cần tìm là:1000a+100b+10c+d(a;b;c;d nguyên dương và ≤9≤9

Có:1000a+100b+10c+d=x²

Tiếp tục có: 1000(a+1)+100(b+3)+10(c+5)+d+3=y²(x;y nguyên dương;32≤x;y≤≤99)

<=>x²+1353=y²<=>(y-x)(y+x)=1353=3.11.41

Tới đây ta giải pt tích rồi tìm ra  (x;y) thoả mãn là (56;67)=>số cần tìm là 3136

Đặt abcd +k^2                               -------

      (a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m^2=>abcd +1353=m^2

Nên m^2-k^2=1353

    =>(m+k)(m-k)=1353=123.11=41.33(vì k+m<200)

Đến đây làm như nghiệm nguyên để tinh m,k

Kết quả cuối cùng là 3136

ta có: \(6x+5y+15=2xy.\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3-y\right)-5\left(3-y\right)=-30\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(3-y\right)=-30\)

mà 2x-5 là số lẻ nên \(2x-5\in\left\{1;-1;3;-3;5;-5;15;-15\right\}\)

                             \(\Leftrightarrow x\in\left\{3;2;4;1;5;0;10;-5\right\}\)

\(\Leftrightarrow y\in\left\{33;-27;13;-7;9;-3;5;1\right\}\)

Câu 2: Nhân cả hai vế của phương trình với 4 , ta có:

\(4x^2+4y^2-4x-4x=32\Leftrightarrow\left(4x-4x+1\right)+\left(4y^2-4y+1\right)=34\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-1\right)^2+\left(2y-1\right)^2=34\)

Ta thấy 34 = 5² + 3² nên ta có bảng:

Vậy các cặp nghiệm nguyên thỏa mãn là (5;3) , (5;-3) , (-5;3) , (-5;-3) , (3; 5), (3;-5) , (-3; 5), (-3;-5)

Xét \(x^2+\frac{1}{x^2}\)=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\in Z\).Giả sử đúng đến n=k , ta sẽ c/m n đúng đến k+1.

Điều này là hiển nhiên vì \(x^{k+1}+\frac{1}{x^{k+1}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^k+\frac{1}{x^k}\right)-x^{k-1}-\frac{1}{x^{k-1}}\in Z\)

Sửa đề \(a;b>c>0\)

Giả sử \(\sqrt{ab}\ge\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow ab\ge c\left(a-c\right)+c\left(b-c\right)+2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow ab-ac+c^2-bc+c^2-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}\right)^2-2c\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}+c^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}-c\right)^2\ge0\)đúng với \(\forall a;b>c>0\)