Chứng minh rằng:
a3+b3+c3>=ab(a+b) +ac(a+c)+bc(b+c)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài:
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}-1}}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}-1}}\)
= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}.\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}\)
= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)}\)
= \(\frac{\sqrt{3}.\left[\left(\sqrt{\sqrt{3+1}-1}\right).\left(\sqrt{\sqrt{3+1}+1}\right)\right]}{\left(\sqrt{\sqrt{3+1}}\right)^2-1^2}\)
= \(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3+1}}-1-\sqrt{\sqrt{3+1}}-1\right)}{\sqrt{3}+1-1}\)
= \(\frac{\sqrt{3}.\left(-2\right)}{\sqrt{3}}\)
= -2
Cái này mới đầy đủ và đúng hơn ( cãi nãy là sai vè thiếu nha ) ^^
\(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}-1}-\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3}+1}+1}\)
=\(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}-1\right)}{\sqrt{3}+1-1}\)
=\(\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{\sqrt{3}+1}+1-\sqrt{\sqrt{3}+1}+1\right)}{\sqrt{3}}\)
=2
\(\sqrt{99}+\sqrt{101}=9,94........+10,04.......\)
Mà 9,94 + 10,04 = 19,98 < 20
Vậy \(\sqrt{99}+\sqrt{101}< 20\)
Xét : (\(\sqrt{99}+\sqrt{101}\))^2 = 99+101 + 2\(\sqrt{99.101}\)<= 200 + 99+101 ( bđt cosi ) = 400
=> \(\sqrt{99}+\sqrt{101}\)< 20
k mk nha
Chia thỏi vàng thành 3 phần bằng 2 nhát cắt,phần 1 bằng 1/7 thỏi bạc,phần 2 bằng 2/7 thỏi bạc,phần 3 bằng 4/7 thỏi bạc
Ngày 1:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc
Ngày 2:Đưa Cuội 2/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc
Ngày 3:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc
Ngày 4:Đưa Cuội 4/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc và 2/7 thỏi bạc
Ngày 5:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc
Ngày 6:Đưa Cuội 2/7 thỏi bạc,lấy lại 1/7 thỏi bạc
Ngày 7:Đưa Cuội 1/7 thỏi bạc
Bằng hai nhát cắt, Phú Ông có thể chia thỏi bạc thành ba phần theo tỉ lệ là 1/7 ;2/7 và 4/7 thỏi bạc.
Ta đặt là phần (1), (2) và (3) tương ứng với tỉ lệ trên.
Sau đó mỗi ngay, Phú Ông sẽ trả tiền công cho Cuội như sau:
- Ngày thứ nhất: Trả phần (1)
- Ngày thứ hai: Trả phần (2) và lấy lại phần (1)
- Ngày thứ ba: Trả tiếp phần (1)
- Ngày thứ tư: Trả phần (3) và lấy lại phần (1) và phần (2)
- Ngày thứ năm: Trả phần (1)
- Ngày thứ sáu: Trả phần (2) và lấy lại phần (1)
- Ngày thứ bảy: Trả nốt phần (1)
ta có \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Bất đẳng thức chứng minh tương đương với:
\(\frac{a^2b}{2+a^2b}+\frac{b^2c}{2+b^2c}+\frac{c^2a}{2+c^2a}\le1\)
Áp dụng Cô-si ta có:
\(2+a^2b=1+1+a^2b\ge3\sqrt[3]{a^2b}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2b}{2+a^2b}\le\frac{1}{3}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\le\frac{2a^2+b^2}{9}\)
CHưng minh tương tự ta có:
\(\frac{b^2c}{2+b^2c}\le\frac{2b^2+c^2}{9},\frac{c^2a}{2+c^2a}\le\frac{2c^2+a^2}{9}\)
Cộng là ta có \(đpcm.\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Giả sử E là số tự nhiên
Biến đổi E ta có :
\(E=\frac{3n^2}{2n^2+n-1}+\frac{1}{n+1}=\frac{3n^2}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}+\frac{2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n^2+2n-1}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}\)
\(=\frac{\left(n+1\right)\left(3n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(2n-1\right)}=\frac{3n-1}{2n-1}\)
Do E là số tự nhiên \(\Rightarrow\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\Rightarrow\left[2\left(3n-1\right)-3\left(2n-1\right)\right]⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow\left(6n-2-6n+3\right)⋮\left(2n-1\right)\Leftrightarrow1⋮\left(2n-1\right)\)
\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)
Xét \(2n-1=1\Rightarrow n=1\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)
Xét \(2n-1=-1\Rightarrow n=0\left(KTM:n>1;\text{loại}\right)\)
Vậy ko có số tự nhiên n > 1 nào để \(\left(3n-1\right)⋮\left(2n-1\right)\) hay 3n - 1 ko chia hết cho 2n - 1
=> điều giả sử là sai hay E ko thể là số tự nhiên (đpcm)