\(ĐKXĐ:a\ge0;a\ne4\)

Vế thứ nhất mẫu thức chung là \(\left(2-\sqrt{a}\right)\left(2+\sqrt{a}\right)\)   

chỗ \(-\frac{4a}{a-4}\)chuyển thành \(\frac{4a}{4-a}\)tách ra được \(\frac{4a}{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(2+\sqrt{a}\right)}\)  ( sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương)

vế thứ hai mẫu thức chung là \(\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)\)

tách cái sau ra \(\frac{\sqrt{a}+3}{\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)}\)  thì cái trước phải nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwaz: 

\(\left(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\right)\left[xy^2+y^2\left(x+2y\right)\right]\ge\left(x^2+3y^2\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2xy^2+2y^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{2y^2\left(x+y\right)}\)        \(\left(1\right)\)

 Áp dụng BĐT AM-GM:

\(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\ge x+y\)           

Do đó: Áp dụng BĐT AM-GM ngược dấu: 

   \(2y^2\left(x+y\right)\le2y^2\left(x^2+y^2\right)\le\frac{\left(x^2+y^2+2y^2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2y^2\left(x+y\right)\le\frac{\left(x^2+3y^2\right)^2}{4}\)               \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)   (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

Vậy \(\frac{x^3}{y^2}+\frac{9y^2}{x+2y}\ge4\)