bạn hỏi cái j z

pt <=> 9x^2+3y^2+12xy+12x+6y+15 = 0

<=> [(9x^2+12xy+4y^2)+2.(3x+2y).2+4] - (y^2+2y+1) + 12 = 0

<=> [(3x+2y)^2+2.(3x+2y).2+4] -(y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2)^2 - (y+1)^2 = -12

<=> (3x+2y+2+y+1).(3x+2y+2-y-1) = -12

<=> (3x+3y+3).(3x+y+1) = -12

<=> (x+y+1).(3x+y+1) = -4

Đến đó bạn dùng quan hệ ước bội cho các số nguyên mà giải nha !

Tk mk nha

Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=1\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b^2+b\left(c+a\right)}{c+a}+\frac{c^2+c\left(a+b\right)}{a+b}=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{c+a}+b+\frac{c^2}{a+b}+c=a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=0\)

Có : 

Q = a.(a/b+c) + b.(b/c+a) + c.(c/a+b)

   = a.(a/b+c + 1) + b.(b/c+a + 1) + c.(c/a+b + 1) - (a+b+c)

   = a.(a+b+c)/b+c + b.(a+b+c)/c+a + c.(a+b+c)/a+b - (a+b+c)

   = (a+b+c).(a/b+c + b/c+a + c/a+b) - (a+b+c)

   = (a+b+c)-(a+b+c) = 0

Vậy Q = 0

Tk mk nha

cái này là chứng minh chia hết chứ bạn

nhầm. là chia hết cho 2^3

tam giác OAB vuông tại B => 3 điểm O,A,B nằm trên đường tròn đường kính OA (1 )

tam giác OCA vuông tại C => 3 điểm O,A, C nằm trên đường tròn đường kính OA(2)

I là trung điểm NM => OI vuông góc với MN => tam giác OIA vuông tại I => 3 điểm O, I, A nằm trên đường tròn đường kính OA (3 )

từ 1, 2, 3 => 5 điểm A,B,I,O,Ccùng nằm trên 1 đường tròn

b) góc ABM= góc BNM (cùng chắn cung BM); góc BAN chung => tam giác BAN đồng dạng với tam giác MAB

=> AB/AN=AM/AB => AB^2=AM.AN

bạn ơi còn cái ý goc AHM=ANO làm sao vậy

cm bđt phụ \(5x^2+6xy+5y^2\ge4\left(x+y\right)^2\)nhé

Ta có: \(\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}=\sqrt{4\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}\ge\sqrt{4\left(x+y\right)^2}=2\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}\ge\frac{2\left(x+y\right)}{x+y+2z}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}\ge\frac{2\left(y+z\right)}{y+z+2x}\)(2); \(\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\ge\frac{2\left(z+x\right)}{z+x+2y}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)

Đặt \(x+y=a;y+z=b;z+x=c\)thì \(\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\)\(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)

Nhưng ta có BĐT Nesbitt quen thuộc sau: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

Thật vậy: 

(Bài này mình đã làm nhiều rồi nha nên ngại đánh lại, đây là bất đẳng thức có rất nhiều cách chứng minh nhưng mình nghĩ dồn biến là cách hay và đẹp nhất nha! Có thể tham khảo nhiều cách khác trên mạng, vô thống kê hỏi đáp của mình xem ảnh)

Như vậy: \(\frac{\sqrt{5x^2+6xy+5y^2}}{x+y+2z}+\frac{\sqrt{5y^2+6yz+5z^2}}{y+z+2x}+\frac{\sqrt{5z^2+6zx+5x^2}}{z+x+2y}\)\(\ge2\left[\frac{x+y}{\left(y+z\right)+\left(z+x\right)}+\frac{y+z}{\left(z+x\right)+\left(x+y\right)}+\frac{z+x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\right]\)\(\ge2.\frac{3}{2}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z

Có : x+y = 6 => x^2+2xy+y^2 = 36

xy = 3^2-2 = 7 <=> 2xy = 14

<=> x^2+y^2 = 22

=>  x^4+2x^2y^2+y^4 = 484

<=> x^4+y^4 = 484 - 2x^2y^2 = 484 - 2.(xy)^2 = 484 - 2.7^2 = 386

Xét : 36 x 386 = (x+y).(x^4+y^4) = x^5+y^5+xy.(x^3+y^3) = x^5+y^5+xy.(x+y).(x^2-xy+y^2) = x^5+y^5+7.6.(22-7) = x^5+y^5+630

=> A = x^5+y^5 = 36 x 386 - 630 = 13266

Tk mk nha

a,
Kẻ BE,CF vuông góc với AM.
Ta có:
MA.BC = MA.(BP+CP) ≥ MA.(BE+CF) = 2 SABM + 2 SCAM
Tuong tu:
MB.CA ≥ 2SBCM + 2 SABM
MC.AB ≥ 2SCAM + 2 SBCM
Suy ra:
MA.BC + MB.CA + MC.AB ≥ 2 ( 2 SABM + 2SBCM + 2SCAM) = 4SABC
dpcm.
Dấu = xảy ra khi M là trực tâm.