Hiệu số phần bằng nhau là :

5 - 2 = 3 ( phần )

1 phần tương ứng với :

1998 : 3 = 666

A là :  

\(666\times5=3330\)

B là :

\(666\times2=1332\)

Milk lộn toán hình nhé!

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.Ta chọn hệ toạ độ Oxyz có gốc là đỉnh A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’ (h.105).

Khi đó :

         A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)A=(0;0;0)B=(a;0;0)D=(0;a;0)C=(a;a;0)  A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)A′=(0;0;a)B′=(a;0;a)D′=(0;a;a)C′=(a;a;a)

          P=(a;a2;a)P=(a;a2;a)

a) Ta có −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a)

                       −−→BC′=(0;a;a).BC′→=(0;a;a).

Gọi αα là góc giữa hai đường thẳng APAP và BC′BC′ ta có :

         cosα=∣∣0+a22+a2∣∣√a2+a22+a2.√a2+a2=1√2⇒α=45ocos⁡α=|0+a22+a2|a2+a22+a2.a2+a2=12⇒α=45o

b) Ta có : −−→AP=(a;a2;a)AP→=(a;a2;a), −−→AB=(a;0;0),−−→AC′=(a;a;a)AB→=(a;0;0),AC′→=(a;a;a)

⇒[−−→AP,−−→AB]=(∣∣∣a2a00∣∣∣;∣∣∣aa0a∣∣∣;∣∣∣aa2a0∣∣∣)=(0;a2;–a22)⇒[−−→AP,−−→AB].−−→AC′=0+a3–a32=a32.⇒[AP→,AB→]=(|a2a00|;|aa0a|;|aa2a0|)=(0;a2;–a22)⇒[AP→,AB→].AC′→=0+a3–a32=a32.

Vậy VAPBC′=16∣∣∣[−−→AP,−−→AB].−−→AC′∣∣∣=16.a32=a312.VAPBC′=16|[AP→,AB→].AC′→|=16.a32=a312. 

QUẢNG CÁO

c) Mặt phẳng (A′D′CB)(A′D′CB) song song với trục Oy nên có phương trình :

       px+qz+n=0px+qz+n=0 (n≠0,p2+q2>0).(n≠0,p2+q2>0).

Vì mặt phẳng này đi qua A′,B,CA′,B,C nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp(A′D′CB)(A′D′CB) là x+z–a=0x+z–a=0. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là →n=(1;0;1).n→=(1;0;1).

Từ giả thiết M∈AD′,N∈DB;AM=DN=kM∈AD′,N∈DB;AM=DN=k, ta tính được :

                      M=(0;k√2;k√2),N=(k√2;a√2−k√2;0).M=(0;k2;k2),N=(k2;a2−k2;0).

Suy ra −−−→MN=(k√2;a√2−2k√2;–k√2).MN→=(k2;a2−2k2;–k2).

Ta có −−−→MN.→n=1.k√2+0(a√2−2k√2)+1.(–k√2)=0MN→.n→=1.k2+0(a2−2k2)+1.(–k2)=0

⇒−−−→MN⊥→n.⇒MN→⊥n→.

Rõ ràng N∉mp(A′D′CB).N∉mp(A′D′CB). Suy ra MN song song với mp(A′D′CB).(A′D′CB).

d) Ta có MN2=(k√2)2+(a√2−2k√2)2+(–k√2)2.MN2=(k2)2+(a2−2k2)2+(–k2)2.

=3k2–2a√2k+a2=3⎡⎣(k–a√23)2+a29⎤⎦≥3a29=a23.=3k2–2a2k+a2=3[(k–a23)2+a29]≥3a29=a23.

MN2MN2 nhỏ nhất bằng a23a23 khi k=a√23k=a23 (thoả mãn điều kiện 0<k<a√20<k<a2 ).

Vậy MN ngắn nhất bằng a√33a33 khi k=a√23k=a23.

e) Khi MN ngắn nhất thì k=a√23k=a23 Khi đó −−−→MN=(a3;a3;–a3).MN→=(a3;a3;–a3).

Ta lại có −−→AD′=(0;a;a),−−→DB=(a;–a;0)AD′→=(0;a;a),DB→=(a;–a;0) nên −−−→MN.−−→AD′=0,−−−→MN.−−→DB=0.MN→.AD′→=0,MN→.DB→=0.

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác −−→A′C=(a;a;–a)=3−−−→MNA′C→=(a;a;–a)=3MN→, chứng tỏ −−−→MNMN→, −−→A′CA′C→ cùng phương. Do N∉A′CN∉A′C  nên MN//A′C.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.Ta\; chọn\; hệ\; toạ\; độ\; Oxyz\; có\; gốc\; là\; đỉnh\; A,\; tia\; Ox\; chứa\; AB,\; tia\; Oy\; chứa\; AD\; và\; tia\; Oz\; chứa\; AA’\; (h.105).$

Khi đó :

         $\begin{array}{c}A=\left(0;0;0\right)\\ B=\left(a;0;0\right)\\ D=\left(0;a;0\right)\\ C=\left(a;a;0\right)\end{array}$  $\begin{array}{c}{A}^{\prime }=\left(0;0;a\right)\\ B^{\prime }=\left(a;0;a\right)\\ D^{\prime }=\left(0;a;a\right)\\ C^{\prime }=\left(a;a;a\right)\end{array}$

          $P=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

a) Ta có $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$

                       $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=\left(0;a;a\right).$

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường thẳng $AP$ và $B{C}^{\prime }$ ta có :

         $\cos \alpha =\frac{\left|0+\frac{a^2}{2}+a^2\right|}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{2}+a^2}.\sqrt{a^2+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \alpha ={45}^o$

b) Ta có : $\overrightarrow{AP}=\left(a;\frac{a}{2};a\right)$, $\overrightarrow{AB}=\left(a;0;0\right),\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$

$\begin{array}{c}\Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& a\\ 0& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& a\\ 0& a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}a& \frac{a}{2}\\ a& 0\end{array}\right|\right)\\ =\left(0;a^2;–\frac{a^2}{2}\right)\\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0+a^3–\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{2}.\end{array}$

Vậy $V_{APB{C}^{\prime }}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{AP},\overrightarrow{AB}\right].\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{1}{6}.\frac{a^3}{2}=\frac{a^3}{12}.$ 

c) Mặt phẳng $\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ song song với trục Oy nên có phương trình :

       $px+qz+n=0$ $\left(n\ne 0,p^2+q^2>0\right).$

Vì mặt phẳng này đi qua $A^{\prime },B,C$ nên ta xác định được p = q và n = -pa.

Cho p = 1, ta được phương trình mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right)$ là $x+z–a=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là $\overrightarrow{n}=\left(1;0;1\right).$

Từ giả thiết $M\in A{D}^{\prime },N\in DB;AM=DN=k$, ta tính được :

                      $M=\left(0;\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{k}{\sqrt{2}}\right),N=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-k}{\sqrt{2}};0\right).$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}};\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}};–\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n}=1.\frac{k}{\sqrt{2}}+0\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)+1.\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}\perp \overrightarrow{n}.$

Rõ ràng $N\notin mp\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$ Suy ra MN song song với mp$\left(A^{\prime }{D}^{\prime }CB\right).$

d) Ta có $M{N}^2={\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}-2k}{\sqrt{2}}\right)}^2+{\left(–\frac{k}{\sqrt{2}}\right)}^2.$

$\begin{array}{c}=3k^2–2a\sqrt{2}k+a^2\\ =3\left[{\left(k–\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{9}\right]\ge 3\frac{a^2}{9}=\frac{a^2}{3}.\end{array}$

$M{N}^2$ nhỏ nhất bằng $\frac{a^2}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ (thoả mãn điều kiện $0<k<a\sqrt{2}$ ).

Vậy MN ngắn nhất bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ khi $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

e) Khi MN ngắn nhất thì $k=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{–a}{3}\right).$

Ta lại có $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\left(0;a;a\right),\overrightarrow{DB}=(a;–a;0)$ nên $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=0,\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DB}=0.$

Vậy MN là đường vuông góc chung của AD’ và DB.

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\left(a;a;–a\right)=3\overrightarrow{MN}$, chứng tỏ $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{A^{\prime }C}$ cùng phương. Do $N\notin A^{\prime }C$  nên $MN//A^{\prime }C.$

uyjyy

\(\frac{3}{5}\cdot\frac{18}{17}+\frac{3}{5}\cdot\frac{9}{17}-\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{17}\)

\(=\frac{3}{5}\left[\frac{18}{17}+\frac{9}{17}-\frac{10}{17}\right]\)

\(=\frac{3}{5}\left[\frac{18+9-10}{17}\right]=\frac{3}{5}\cdot1=\frac{3}{5}\)

Bài làm

       \(\frac{3}{5}.\frac{18}{17}+\frac{3}{5}.\frac{9}{18}-\frac{3}{5}.\frac{10}{17}\)

\(=\frac{3}{5}.\left(\frac{18}{17}+\frac{9}{18}-\frac{10}{17}\right)\)
~ Đến đây tự tính, tối rồi, lười k mún tính . tính trong ngoặc trc nha~
# Học tốt #

Tag hộ tth vào phát :) 

Mọi người vào topic thảo luận bài với ạ 

Gì vậy bạn?

=2 nha 

k me !

bằng 2

Có : 2(x-3) =  3(y-2)

       2x - 6 = 3y -6 

       2x = 3y 

       x/3 = y/2

 Đặt x/3 = y/2 = k 

  x = 3k

  y =  2k

thay vào x-y =4 ta có 

     3k - 2k = 4

          k = 4

Vậy x = 3 x 4 = 12

      y = 2 x 4 = 8

Vì chu vi đường tròm dài 330m nên chiều dài của đường đua phải chia hết cho 330
Vì mỗi chặng đường dài 75m nên chiều dài của đường đua phải chia hết cho 75
Suy ra: Chiều dài của đường đua là BCNN(330,75)
Ta có: 
330 = 2 x 3 x 5 x 11
75 = 3 x 52
Suy ra: BCNN(330,75) = 2 x 3 x 52 x 11 = 1650
Suy ra: Chiều dài của đường đua là 1650m
Số chặng ít nhất của đường đua là: 1650 : 75 = 22 (chặng)

ad ko biết

20 và 12

yjytj

yttjjy