bạn có sai đề không, mình nghĩ phải là \(x^2+7x+12\)chứ?

\(\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^{n+1}}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}\)

\(=\frac{-5}{7}\)

#)Giải :

\(\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^{n+1}}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}=\frac{\left(\frac{-5}{7}\right)^n\times\left(\frac{-5}{7}\right)}{\left(\frac{-5}{7}\right)^n}=\frac{-5}{7}\)

\(\frac{5^2}{1\cdot6}+\frac{5^2}{6\cdot11}+...+\frac{5^2}{26\cdot31}\)

\(=\frac{25}{1\cdot6}+\frac{25}{6\cdot11}+...+\frac{25}{26\cdot31}\)

\(=5\left[\frac{5}{1\cdot6}+\frac{5}{6\cdot11}+...+\frac{5}{26\cdot31}\right]\)

\(=5\left[1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{26}-\frac{1}{31}\right]\)

\(=5\left[1-\frac{1}{31}\right]=5\cdot\frac{30}{31}=\frac{150}{31}\)

\(\frac{5^2}{1.6}+\frac{5^2}{6.11}+...+\frac{5^2}{26.31}\)

= \(5.\left(1-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{11}+...+\frac{1}{26}-\frac{1}{31}\right)\)

= \(5.\left(1-\frac{1}{31}\right)\)

= \(5.\frac{30}{31}\)

= \(\frac{150}{31}\)

#)Giải :

Để x . y = 2

=> x,y thuộc ƯCNL(2) = { 1;2;-1;-2 }

\(\hept{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\y=-2\end{cases}}}\)

\(x.y=2\)

\(\Rightarrow x\)và \(y\in\)Ư ( 2 ) = { \(\pm1,\pm2\)}

Ta có bảng

a) Giả sử không có 2 số nào bằng nhau trong các số nguyên dương đẫ cho.

Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a1< a2< a3< a4< ...< a100\)

Nên : \(a1\ge1;a2\ge2;a3\ge3;...;a100\ge100\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)

Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+99.\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)

( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)có 99 phân số 1/2 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{101}{2}\)trái với đề bài ra là \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\ge\frac{101}{2}\)

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho ít nhất 2 số bằng nhau ( điều phải chứng minh ).

b) Giả sử trong 100 số trên chỉ tồn tại 2 số bằng nhau ( đã chứng minh 2 số bằng nhau ở phần a)

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: 

b) Làm tiếp : Giả sử a1=a2.

Nên : \(a1=a2>a3>a4>...>a100\)( áp dụng theo phần a)

\(\Rightarrow a1=a2\ge1;a3\ge2;a4\ge3;...;a100\ge99\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{2}{a1}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}=\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}\)

Mặt khác, ta có :\(\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}< 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}=\frac{5}{2}+\frac{97}{3}=\frac{209}{6}\)

( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}\)có 97 phân số 1/3 )

\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{209}{6}< \frac{303}{6}=\frac{101}{2}\)trái với đề bài

Tương tự giả sử lấy bất kỳ 2 số bằng nhau khác tổng \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\)vẫn nhỏ hơn 101/2

Vậy tồn tại trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau ( điều phải chứng minh).

a) Hình tự vẽ dễ dàng.

Ta có : \(\widehat{E}=\widehat{EGH}=60^o\)mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong => GH//Dx ( điều phải chứng minh ).

b) Ta có : \(\widehat{GDF}\&\widehat{D}\)là hai góc nằm ở vị trí kề bù

\(\Rightarrow\widehat{GDF}+\widehat{D}=180^o\Leftrightarrow\widehat{GDF}=180^o-\widehat{D}=180^o-60^o=120^o\)

Vì Dx là tia phân giác góc GDF nên : \(\widehat{GDx}=\widehat{FDx}=\frac{\widehat{GDF}}{2}=\frac{120^o}{2}=60^o\)( 1 )

Áp dụng tính chất tổng ba góc trong 1 tam giác : \(\widehat{E}+\widehat{D}+\widehat{F}=180^o\Leftrightarrow\widehat{F}=180^o-\widehat{E}-\widehat{D}=180^o-60^o-60^o=60^o\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\widehat{FDx}=\widehat{F}=60^o\)mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong => Dx//EF ( điều phải chứng minh ).

#)Giải :

a)

b)

c) 

\(a,\left[x+\frac{1}{3}\right]^3=-\frac{8}{27}\)

\(\Leftrightarrow\left[x+\frac{1}{3}\right]^3=\left[-\frac{2}{3}\right]^3\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=-1\)

Vậy x = -1

a) (x+1/3)³ = -8/27

<=> (x+1/3)³ = (-2/3)³

<=> x + 1/3 = -2/3

<=> x = -1

b) \(\frac{1}{4}x-\frac{8}{12}=1-\frac{3}{2}x\)

\(\Leftrightarrow\frac{7}{4}x=\frac{5}{3}\)

<=> x = 20/21

\(3^3=27\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(3^3\right)^{670}\equiv1^{670}\equiv1\left(mod13\right)\) 

\(\equiv5^2=25\equiv-1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(5^2\right)^{1005}\equiv\left(-1\right)^{1005}\left(mod13\right)\) 

\(\Rightarrow3^{2010}+5^{2010}\equiv\left(-1\right)+1\equiv0\left(mod13\right)\Rightarrowđpcm\)

Ta có
$3^{2010}=(3^3{)}^{670}\equiv 1^{670}(mod13)$
Mà $5^{2010}=(5^2{)}^{1005}\equiv (-1{)}^{1005}\left(mod13\right)$
Từ đó suy ra $3^{2010}+5^{2010}$ chia hết cho 13