\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{x}=2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\)

Áp dụng BĐT cô si ,ta có:

\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x\cdot y}{y\cdot x}}=2\)

Vậy ta được đpcm

ta có:

\(a+\frac{1}{a}-2=\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-2\sqrt{a\cdot\frac{1}{a}}=\left(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\Rightarrow a+\frac{1}{a}\ge2\)

Vì a và 1/a cùng dấu nên 2 căn (a*1/a) lớn hơn 0 nha 

a,\(\sqrt{x+3+4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1+4\sqrt{x-1+4}}+\sqrt{x-1-6\sqrt{x-1}+9}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1+2}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1-3}\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+2+|\sqrt{x-1}-3|=5\Leftrightarrow|\sqrt{x-1}-3|=3-\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}-3\le0\left(|A|=-A\Leftrightarrow A\le0\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\le3\Leftrightarrow0\le x-1\le3^2\Leftrightarrow1\le x\le10\)

Nghiệm của phương trình đã cho là : \(1\le x\le10\)

b, \(\left(4x+1\right)\left(12x-1\right)\left(3x+2\right)\left(x+1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(4x+1\right)\left(3x+2\right)\right]\left[\left(12x-1\right)\left(x+1\right)\right]=4\)

\(\Leftrightarrow\left(12x^2+8x+3x+2\right)\left(12x^2+12x-x-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(12x^2+11x+2\right)\left(12x^2+11x-1\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(12x^2+11x+\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)\left(12x^2+11x+\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow\left(12x^2+11x+\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{3}{2}\right)^2=4\Leftrightarrow\left(12x^2+11x+\frac{1}{2}\right)^2=4+\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(12x^2+11x+\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}12x^2+11x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\\12x^2+11x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}12x^2+11x-2=0\left(1\right)\\12x^2+11x+3=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Giải (1)          \(\Delta=121+96=217\)

                      \(x_1=\frac{-11+\sqrt{217}}{24};x_2=\frac{-11-\sqrt{217}}{24}\)

Giải (2)        \(\Delta=121-144=-23< 0\).Phương trình vô nghiệm.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt :

\(x_1=\frac{-11+\sqrt{217}}{24};x_2=\frac{-11-\sqrt{217}}{24}\)

2 giờ 05 phút = \(\frac{25}{12}\)giờ

Gọi x ( km ) là đoạn đường đi bộ. x > 2,5

Đoạn đường đi xe là: x - 2,5 ( km )

Thời gian đi bộ là: \(\frac{6}{x}\)( h )

Thời gian đi xe là: \(\frac{25}{x-2,5}\)( h )

Theo đề ra ta có pt: \(\frac{6}{x}+\frac{25}{x-2,5}=\frac{25}{12}\)

Giải tiếp là ra

Hk tốt

Bn tham khảo ở : đây

Áp dụng cô si ,ta có

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(c^2+b^2\ge2bc\)

\(a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2ac+2bc\)

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\ge3ab+3ac+3bc\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow200^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Rightarrow\frac{40000}{3}\ge ab+bc+ac\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c=200/3

bt chết liền

Phải là chứng minh: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) mới c/m được chứ?

Khi đó chuyển vế qua ta được: \(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy ta có đpcm.

\(C=x^2+y^2+\frac{1}{xy}+\frac{1}{xy}\)

Áp dụng Cô si ,ta có:

\(x^2+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}}\)

\(y^2+\frac{1}{xy}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)

\(\Rightarrow C\ge2\left(\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\ge2\)(áp dụng cô si lần nữa)

Dấu = xảy ra khi x=y=1

chắc vậy.sai thì thông cảm chị nha

Thanks