a,

Đặt: \(\hept{\begin{cases}\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=x\\\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=y\\\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}=z\end{cases}}\)

a, Ta chứng minh \(x+y+z>1\)hay \(x+y+z-1>0\left(1\right)\)

Ta có BĐT \(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)>0\left(2\right)\)

Ta có: \(x+1=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}+1=\frac{\left(a+b\right)^2-c^2}{2ab}=\frac{\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)}{2ab}\)

Và: \(y-1=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}-1=\frac{\left(b-c\right)^2-a^2}{2bc}=\frac{\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)}{2bc}\)

Và: \(z-1=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}-1=\frac{\left(c-a\right)^2-b^2}{2ac}=\frac{\left(c-a-b\right)\left(c-a+b\right)}{2ac}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\frac{c\left(a+b+c\right)+a\left(b-c-a\right)-b\left(c-a+b\right)}{2abc}\right]>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[c^2-\left(a-b\right)^2\right]>0\left(abc>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)>0\)

BĐT cuối đúng vì \(a,b,c\)thỏa mãn \(BĐT\Delta\left(đpcm\right)\)

b, Để \(A=1\Leftrightarrow\left(z+1\right)+\left(y-1\right)+\left(z-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a-b+c\right)\left(-a+b+c\right)=0\)

Từ trên ta suy ra được 3 trường hợp:

• Trường hợp 1: \(a+b-c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+1=0\\y-1=0\\z-1=0\end{cases}}\hept{\Rightarrow\begin{cases}x=-1\\y=-1\\z=1\end{cases}}\)
• Trường hợp 2:\(a-b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a-b+c\right)}{2ab}=0\\y-1=0\\z+1=\frac{\left(c+a-b\right)\left(c+a+b\right)}{2ca}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\\z=-1\end{cases}}\)
• Trường hợp 3: \(-a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+1=\frac{\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)}{2bc}\\z-1=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-1\\z=1\end{cases}}}\)

Từ các trường trên ta thấy trường hợp nào cũng có 2 trong 3 phân thức \(x,y,z=1\)và còn lại \(=-1\)

Sử dụng BĐT phụ \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow3abc\le\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a+b+c}\)

Như vậy BĐT cần chứng minh tương đương: 

\(\left(a+b+c\right)^6\ge27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: 

\(27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2\le\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)+\left(ab+bc+ca\right)\right]^3\)

\(=\left(a+b+c\right)^6\)

Vậy BĐT đã được chứng minh

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Chúc bạn học tốt !!!

Copy cũng  nhớ ghi nguồn bạn ơi .

\(3x-4x^2-\frac{1}{4}x+2014\)

\(=-\left[\left(2x\right)^2-4x+1+x+\frac{1}{4}x-2015\right]\)

\(=\left[\left(2x-1\right)^2-\left(2x-1\right)\frac{2}{4}x+1-2015\right]\)

Vậy Max của biểu thức trên là 2014 khi x = 1/2

x ở dưới mẫu cở

2 góc đáy ABC = ACB = (180 - 108) : 2 = 36 ( gt)

Hạ đường cao AH; vì ABC là t.g cân tại A => AH là trung tuyến => HB = HC => BC = 2HC.

Trong \(\Delta\) vuông AHC có: HC/AC =cos36^o

=>2HC/AC=cos36^o

 <=> BC/AC = 2cos36^o

mình mới học lớp 8

Gọi số thứ nhất là x

=> Số thứ 2 là 20/9 x

Thương của số thứ nhất và 3 là 1/3 x

Thương của số thứ 2 và 4 là 5/9x

Theo bài ra ta có PT:

1/3 x + 4= 5/9 x

<=> −2/9−29 x = -4

<=> x  = 18

Số thứ 2 là:

18. 20/9 = 40

Vậy số thứ 1 là 18, số thứ 2 là 40

#Châu's ngốc

Một chiếc xe tải đi từ điểm A đến điểm B, quãng đường dài 172 km. Sau khi xe tải xuất phát được 1 giờ, một chiếc xe khách bắt đầu đi từ B về A và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 36 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết rằng mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Theo tính chất của \(\Delta\) vuông ta có:\(AH^2=BH.HC\)

Theo tính chất phân giác ta có: \(\frac{AD}{DC}=\frac{AH}{HC}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AD^2}{DC^2}=\frac{AH^2}{HC^2}=\frac{HB.HC}{HC^2}=\frac{HB}{HC}\left(đpcm\right)\)