Với n là số tự nhiên

Ta có: \(5^{2n^2-6n+2}-12=25^{n^2-3n+1}-12=25^{n^2-3n}.25-12\)

Với \(n^2-3n=n\left(n-3\right)⋮2\)( vì n, n-3 1 trong 2 số sẽ có sỗ chẵn, hoặc chia trường hợp n chẵn và n lẻ để chứng minh nó chia hết cho 2)

Đặt: \(n^2-3n=2k\) 

=> \(5^{2n^2-6n+2}-12=25^{2k}.25-12\equiv\left(-1\right)^{2k}.25-12\equiv25-12\equiv0\left(mod13\right)\)

Mà \(5^{2n^2-6n+2}-12\)là số nguyên tố

=> \(5^{2n^2-6n+2}-12=13\Leftrightarrow5^{2n^2-6n+2}=25=5^2\Leftrightarrow2n^2-6n+2=2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\\n=3\end{cases}}\) thử lại thỏa mãn

Vậy n=0 hoặc n=3

a) ĐKXĐ: \(x\ge-4\)

a) Ta có: \(\sqrt{6-4x+x^2}=x+4\Rightarrow\left(x+4\right)^2=x^2-4x+6\)

\(\Rightarrow x^2+8x+16=x^2-4x+6\Rightarrow4x+10=0\Rightarrow x=-\frac{5}{2}\left(loại\right)\)

Vậy pt vô nghiệm

b) \(\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{2x-1}=0\Rightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{2x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

Đề bài câu 4. thiếu kìa. Nếu MN? 

Đề sai rồi bạn

Chứng minh IA= ID là vô lý được không

a, Ta có: \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)= \(2+2\sqrt{6}+3=5+2\sqrt{6}\)

Lại có \(3^2=9=5+4\)mà \(2\sqrt{6}>4\)

suy ra \(\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2>9\)

suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}>3\)

b, Ta có: \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2=11-2\sqrt{33}+3=14-2\sqrt{33}\)

Lại có: \(2^2=4=14-10\)mà \(2\sqrt{33}>10\)

suy ra \(\left(\sqrt{11}-\sqrt{3}\right)^2< 2^2\)

suy ra \(\sqrt{11}-\sqrt{3}< 2\)

#)Giải :

a) √2 +√3 = √( √2 + √3 )² = √( 5 + 2√6 ) = √( 5 + √24 ) 

3 = √9 = √( 5 + √16 )                                          

=> √2 + √3 > 3

Nối BM
Xét tam giác BMD vuông tại D, có: BD² = BM² - MD² (1)
Xét tam giác MCD vuông tại D, có: DC² = MC²- MD² (2)
Từ (1) và (2) => BD² - DC² = BM²- MD² - MC² + MD² = BM² - MC² = BM² - AM² (vì AM=CM) = AB²

=> AB² = BD²- DC² (đpcm)

\(a,\)\(m>1\)\(\Rightarrow m-1>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)

Vì \(\sqrt{m}+1>0\)mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{m}-1>0\)\(\Rightarrow\sqrt{m}>1\)

\(b,\)\(m< 1\Rightarrow m-1< 0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)

Vì \(\sqrt{m}+1>0\)Mà \(\left(\sqrt{m}-1\right)\left(\sqrt{m}+1\right)< 0\)

\(\Rightarrow\sqrt{m}-1< 0\Leftrightarrow\sqrt{m}< 1\)

c)vì m dương ,m>1 => m-1>0   <=> m(m-1) >0 
                                               <=>\(m^2-m>0\)
                                               <=>\(\left(m-\sqrt{m}\right)\left(m+\sqrt{m}\right)>0\)0
                  Mà m dương nên \(m+\sqrt{m}>0\)=> \(m-\sqrt{m}>0=>m>\sqrt{m}\)(đpcm)
Câu d tương tự nhé

\(a,\)\(a< b\Rightarrow a-b< 0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)< 0\)

Vì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)\(\Rightarrow\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\left(đpcm\right)\)

\(b,\)\(\sqrt{a}< \sqrt{b}\)\(\Rightarrow\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\)

Ta có :\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=a-b\)

Mà \(\sqrt{a}-\sqrt{b}< 0\); \(\sqrt{a}+\sqrt{b}>0\)

\(\Rightarrow a-b< 0\)\(\Leftrightarrow a< b\)