Tính : \(A=\frac{\left(1+\frac{2017}{1}\right)\left(1+\frac{2017}{2}\right)...\left(1+\frac{2017}{1009}\right)}{\left(1+\frac{1009}{1}\right)\left(1+\frac{1009}{2}\right)...\left(1+\frac{1009}{2017}\right)}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
G/s: Tam giác đều ABC có cạnh bằng a
Đặt AM=x, AN =y, x, y dương và bé hơn a
=> MB=a-x, NC=a-y
Theo bài ra ta có:
\(\frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1\)
\(\Leftrightarrow-\frac{x}{a-x}-\frac{y}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a}{a-x}+1-\frac{a}{a-y}=-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{a-x}+\frac{a}{a-y}=3\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a-x+a-y}=\frac{4}{2a-\left(x+y\right)}\)
\(\Leftrightarrow x+y\le\frac{2a}{3}\)
Diện tích tam giác AMN:
\(S_{\Delta AMN}=\frac{1}{2}AM.AN.\sin\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.xy.\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}.xy\le\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{\sqrt{3}}{16}\frac{4a^2}{9}=\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: \(x=y=\frac{a}{3}\)
Vậy AM=1/3AB, AN=1/3AC thì diện tích tam giác AMN lớn nhất bằng \(\frac{\sqrt{3}a^2}{36}\)
Ta có:
\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AH^2}+\frac{2}{AB.AC}+\frac{2}{AC.AH}+\frac{2}{AB.AH}=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH^2}+\frac{2}{AH.BC}+\frac{2}{AC.AH}+\frac{2}{AB.AH}=1\)(Do \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\\AB.AC=AH.BC\end{cases}}\)(Hệ thức lượng)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH}\left(\frac{1}{AH}+\frac{1}{BC}+\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{AH}\left(1+\frac{1}{BC}\right)=1\)(Do \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}+\frac{1}{AH}=1\))
\(\Leftrightarrow\frac{BC+1}{BC}=\frac{AH}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(BC+1\right)=AH.BC\)
\(\Leftrightarrow4BC+4=2AB.AC\)(Do AH.BC = AB.AC)
Kết hợp với Py-ta-go trong tam giác vuông ABC: \(BC^2=AB^2+AC^2\)
\(\Rightarrow BC^2+4BC+4=AB^2+2AB.AC+AC^2\)
\(\Leftrightarrow\left(BC+2\right)^2=\left(AB+AC\right)^2\)
\(\Leftrightarrow AB+AC=BC+2\)(Do \(\hept{\begin{cases}BC+2>0\\AB+AC>0\end{cases}}\))
Mà 3 cạnh AB,AC,BC là 3 cạnh nguyên lớn hơn 0
=> Chỉ có 2 cặp (AB,AC,BC) thỏa mãn: \(\left(3,4,5\right),\left(4,3,5\right)\)
\(\sqrt{4x^2-4x+1}+\sqrt{2x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{2x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-1}.\left(\sqrt{2x-1}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=0\\\sqrt{2x-1}=-1\left(loai\right)\end{cases}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}}\)
Vậy x=1/2 là giá trị cần tìm
Em thử nhé
PT \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2x-1\right)^2}+\sqrt{2x-1}=0\) (x > 1/2)
Do x > 1/2 nên 2x - 1 > 0. Khi đó, PT trở thành:
\(2x-1+\sqrt{2x-1}=0\Leftrightarrow a^2+a=0\left(a=\sqrt{2x-1}\ge0\right)\)
Đến đây phân tích đa thức thành nhân tử sẽ nhanh hơn dùng delta.
\(\Leftrightarrow a\left(a+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=0\left(C\right)\\a=-1\left(L\right)\end{cases}}\)
a = 0 suy ra 2x - 1 = 0 suy ra x = 1/2 (TMĐK)
ĐKXĐ: \(a-4\ne0\Leftrightarrow x\ne4\)
\(\frac{a-4\sqrt{a}+4}{a-4}=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2}{\left(\sqrt{a}-2\right).\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}\)
ĐK \(a\ne4\)
\(\frac{a-4\sqrt{a}+4}{a-4}=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2}{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}=\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}\)
Ta có: \(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+1-a-b}{c+a+b+c}=\frac{-b\left(1-a\right)+\left(1-a\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(=\frac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}=\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{a+c}+\frac{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{b+c}\right)=\frac{a+b+2c}{4}\)
Tương tự: \(\frac{bc+a}{a+1}=\frac{b+c+2a}{4}\)
\(\frac{ca+b}{b+1}=\frac{c+a+2b}{4}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ca+b}{b+1}\le\frac{4a+4b+4c}{4}=a+b+c=1\)
Thiếu:
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(\frac{1}{a+b}=\frac{1}{a+c};\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b+c};\frac{1}{b+c}=\frac{1}{b+a};a+b+c=1\)
<=> a=b=c=1/3
#) Giải
Giả sử tồn tại x, y, z thỏa mãn đk đầu bài => 1 / x + 1 / y = 1 / z (x, y, z ≠ 0)
=> z(x + y) = xy
Không thể có |z| > 1 vì lúc đó z có ít nhất 1 ước nguyên tố p ≥ 2 => p phải là ước của x hoặc y, vô lý vì (x, z) = (y, z) = 1. Vậy z = -1, 1
Với z = -1 => -(x + y) = xy => (x + 1)(y + 1) = 1 => x + 1 = -1, y + 1 = -1
=> x = y = -2 => x, y có chung ước 2, vô lý vì (x, y) = 1
Với z = 1 => x + y = xy => (x - 1)(y - 1) = 1
=> x - 1 = 1 và y - 1 = 1 => x = y = 2, vô lý vì (x, y) = 1
Vậy không tồn tại x, y, z thỏa đk bài toán
~ Hok tốt ~
kham khảo ở đây nha
Giải toán trên mạng - Giúp tôi giải toán - Hỏi đáp, thảo luận về toán học - Học toán với OnlineMath
vào thống kê hỏi đáp của mình nhấn zô chữ xanh trong câu trả lời này
hc tốt ~:B~
\(a,\frac{a-4\sqrt{a}+4-1}{\sqrt{a}-3}=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)^2-1}{\sqrt{a}-3}.\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-3}\)
\(=\sqrt{a}-1\)
\(b,\frac{a+\sqrt{a^2-6a+9}}{2a-3}=\frac{a+\sqrt{\left(a-3\right)^2}}{2a-3}\)
\(=\frac{a+a-3}{2a-3}=\frac{2a-3}{2a-3}\)
\(=1\)
Ta có: \(A=\frac{\left(1+\frac{2017}{1}\right)\left(1+\frac{2017}{2}\right)...\left(1+\frac{2017}{1009}\right)}{\left(1+\frac{1009}{1}\right)\left(1+\frac{1009}{2}\right)...\left(1+\frac{1009}{2017}\right)}=\frac{\frac{2017+1}{1}\frac{2017+2}{2}...\frac{2017+1009}{1009}}{\frac{1009+1}{1}\frac{1009+2}{2}...\frac{1009+2017}{2017}}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{\frac{2018.2019...3026}{1.2...1009}}{\frac{1010.1011...3026}{1.2...2017}}=\frac{2018.2019...3026}{1.2...1009}.\frac{1.2...2017}{1010.1011...3026}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{1.2...2017.2018.2019...3026}{1.2...1009.1010.1011...3026}=\frac{1.2.3...3026}{1.2.3...3026}=1.\)