Tìm x,y \(\varepsilonℤ\)_{\(4^x=1+3^y\)}

Cho 1 đường tròn (O) đường kính AB. 2 dây AC và BD cắt nhau tại H. Gọi hình chiếu vuông góc của H trên AB. M, N lần lượt là trung điểm của AH và BH. CMR 4 điểm A, H, F, D thuộc 1 đường tron

 Từ điểm M ở ngoài đường tròn (I) kẻ hai tiếp tuyến ME và MF ( E và F là hai tiếp điểm ) . Kẻ dây EG của đường tròn (I) song song MF. Gọi H là giao điểm của MG với (I) và K là giao điểm của EH với MF . 

a) Chứng minh KF^2 = KE . KH . 

b) Chứng minh K là trung điểm của MF . 

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Các tia phân giác của các góc A và B cắt nhau ở I và cắt đường tròn theo thứ tự ở D và E . Chứng minh rằng : 

a) tam giác: BDI là tam giác cân . 

b) DE là đường trung trực của IC . 

C)IF//BC ( F là giao điểm của DE và AC ).

Cho đường tròn tâm O và điểm M ngoài đường tròn đó . Từ M kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC đến đường tròn ( B nằm giữa M và C ) . Phân giác của góc BAC cắt BC ở D , cắt đường tròn ở E . Chứng minh :

a) MD = MA

b) AD . AE = AC . AB

\(\hept{\begin{cases}x\left(2\sqrt{y-1}-x\right)+y\left(2\sqrt{x-1}-y\right)=0\\x^3+y^3=16\end{cases}.}\)

giải hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}x+y\le2\\x^2+y^2+xy=3\end{cases}}\)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), đường cao AH. Từ H kẻ các đường thẳng vuông góc AB tại E và vuông góc AC tại F. I là trung điểm BC,  P là giao điểm của BC và EF,  K là giao điểm thứ hai của AP và đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF. Cho BC=2a , góc. KCA = 15 độ.  Tính diện tích tam giác IKA theo a.