Ta có \(\left(x+2\right)\left(y+3\right)+\left(x+4\right)\left(y+1\right)=2xy+4x+6y+10=30\)

Đặt \(x+2=a,y+1=b\)

Ta có hệ mới

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a\left(a+2\right)}+\frac{1}{b\left(b+2\right)}=\frac{2}{15}\left(1\right)\\a\left(b+2\right)+b\left(a+2\right)=30\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1).(2)

=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a+2}{b+2}+\frac{b+2}{a+2}=4\)

Nếu a,b khác dấu 

=> \(VT\le-4\)(loại)

Nếu a,b cùng dấu 

=> \(VT\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=3 hoặc a=b=-5

=> x=1,y=2 hoặc x=-7,y=-6 (thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy x=1,y=2 hoặc x=-7,y=-6

bn nào giải thick cho mk đoạn cùng dấu và trái dấu với 

tại sao cùng dấu lại >=4

trái dấu lại<=4

và làm thế nào để tính a,b

Vì vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát ta có:\(a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}\le\frac{a^2}{3\sqrt[3]{a^2b^5c^5}}=\frac{a^2}{3bc}\)

Tương tự:\(\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}\le\frac{b^2}{3ac};\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{c^2}{3ab}\)

Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ac}+\frac{c^2}{3ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

Xét \(a^3+b^3+c^3\le3\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)+\left(b^3-1\right)+\left(c^3-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c^2+c+1\right)\le0\) (đúng)

Từ đó suy ra:  

\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\le\frac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)

Dấu '='xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\abc=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

ko có yêu cầu đề thì thách cả thầy bạn cũng ko làm dc

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)

\(A=x^3+y^3=\frac{x^4}{x}+\frac{y^4}{y}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{x+y}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x^2+y^2=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Vậy \(A_{min}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Từ giả thuyết suy ra:\(0\le x^2,y^2\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3\le x\\y^3\le y\end{cases}}\)

\(A=x^3+y^3\le x+y\le\sqrt{2}\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)

Vậ5y \(A_{max}=\sqrt{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt[3]{\sqrt{2}}}\)

bu-nhi-a vào bn ak

chắc ko

với cả 3 con tắc kè gặp nhau thì lám sao ?