Ko cm đc

\(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Vì n và n+1 là hai số nguyên liên tiếp

=> n(n+1) \(⋮2\)

=> n(n+1)(2n+1) \(⋮6\)   (1)

ta có: n(n+1)(2n+1)

=n(n+1)(2n+4-3)

=n(n+1)[2(n+2)-3]

=2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)

vì n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp

=> n(n+1)(n+2) \(⋮3\)

=> 2n(n+1)(n+2) \(⋮3\) (2)

vì \(3⋮3\Rightarrow3n\left(n+1\right)⋮3\) (3)

Từ (2) và (3)

=> 2n(n+1)(n+2)-3n(n+1) \(⋮3\) => n(n+1)(2n+1) \(⋮3\)      (4)

Từ (1) và (4)

=> n(n+1)(2n+1) \(⋮6\)

vậy.........

\(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(2n-2+3\right)\)

\(=n.\left(n+1\right).\left(2n-2\right)+3n\left(n+1\right)\)

\(=2\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\)

Vì \(n-1\), \(n\), \(n+1\)là 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\left(n-1\right).n.\left(n+1\right)⋮3\)

mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow2\left(n-1\right).n\left(n+1\right)⋮6\)(1)

Vì \(n\), \(n+1\)là 2 số tự nhiên liên tiếp 

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)⋮2\)

mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow3n\left(n+1\right)⋮6\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2\left(n-1\right).n\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)⋮6\)

hay \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

167

37

\(4,\left(513\right)=4\frac{513}{999}=\frac{4509}{999}=\frac{167}{37}\)

Học tốt nha !

Đặt \(\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5k\\y=6k\\z=7k\end{cases}}\)

Khi đó xyz = -1680

<=> 5k.6k.7k = -1680

=> 210k³ = -1680

=> k³ = -8

=> k = -2

=> \(\hept{\begin{cases}x=-10\\y=-12\\z=-14\end{cases}}\)

              Bài làm :

\(\text{Đặt : }\frac{x}{5}=\frac{y}{6}=\frac{z}{7}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=5k\\y=6k\\z=7k\end{cases}}\text{(*)}\)

Vì xyz=-1680 nên :

\(5k.6k.7k=-1680\Leftrightarrow k^3=-8\Leftrightarrow k=-2\)

Thay k=-2 vào (*) ; ta được :

\(\hept{\begin{cases}x=-10\\y=-12\\z=-14\end{cases}}\)

\(x=2\sqrt{7}=\sqrt{28}\)

\(y=3\sqrt{3}=\sqrt{27}\)

vì 28>27\(\Rightarrow\sqrt{28}>\sqrt{27}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{7}>3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow x>y\)

Ta có:x^2=(2 √7)^2=28

          y^2=(3 √3)^2=27

Vì 28>27\(\Leftrightarrow\)(2√7)^2>(3√3)^2\(\Leftrightarrow\)2√7>3√3.