Có \(xy+yz+zx=xyz\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{xy+yz+zx}{xyz}=1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

\(\frac{x^2y}{y+2x}+\frac{y^2z}{z+2y}+\frac{z^2x}{x+2z}=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xy}}+\frac{1}{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}}+\frac{1}{\frac{1}{z^2}+\frac{2}{zx}}\ge\frac{9}{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)}\)

\(=\frac{9}{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}=\frac{9}{1^2}=9\)

Dấu "=" ko xảy ra \(\Rightarrow\)\(\frac{x^2y}{y+2x}+\frac{y^2z}{z+2y}+\frac{z^2x}{x+2z}>9\)

Điều kiện: \(0\le x\le1\)

Đặt \(t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}\left(t\ge0\right)\Rightarrow t^2=1+2\sqrt{x\left(1-x\right)}\Rightarrow\sqrt{x\left(1-x\right)}=\frac{t^2-1}{2}\)

Phương trình đã cho trở thành: \(t+\frac{t^2-1}{2}=1\Leftrightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-1=0\\t+3=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\\t=-3\end{cases}}}\)

*Với t=1 \(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=1\Leftrightarrow2\sqrt{x\left(1-x\right)}+1=1\Leftrightarrow x\left(1-x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)

* Với t = -3 (loại)

Vậy phương trình có hai nghiệm x=0 ; x = 1

Đặt \(a^2+b^2+c^2=t\)

Ta đi chứng minh: \(t=a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\)(*)

Thật vậy: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)(**)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta có: \(a^3+ab^2\ge2\sqrt{a^4b^2}=2a^2b\)(do a,b  dương)   (1)

Tương tự ta có: \(b^3+bc^2\ge2b^2c\left(2\right);c^3+2ca^2\ge2c^2a\left(3\right)\)

Cộng theo vế của các BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\left(a^3+b^3+c^3\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge2\left(a^2b+2b^2c+2c^2a\right)\)(***)

Từ (**) và (***) suy ra \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge a^2b+b^2c+c^2a\). Do đó (*) đúng.

Ta có: \(P=a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=3\)

Bài toán trở thành tìm GTNN của \(f\left(t\right)=t+\frac{9-t}{2t}\)với \(t\ge3\)

Ta chứng minh \(f\left(t\right)\ge f\left(3\right)\Leftrightarrow t+\frac{9-t}{2t}\ge4\Leftrightarrow\frac{\left(t-3\right)\left(2t-3\right)}{2t}\ge0\)(đúng với mọi \(t\ge3\))

Vậy \(MinP=4\)khi t = 3 hay a = b = c = 1

em moi hoc laop 6 thoi

\(x^2=\sqrt{x^3-x^2}+\sqrt{x^2-x}.\)  (1)                   ;        \(ĐK:\hept{\begin{cases}x^3-x^2\ge0\\x^2-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge1\\x=0\end{cases}}}\)

\(\text{TH1: Với x = 0 là nghiệm của phương trình }\)

\(\text{TH2: Với }x\ne0\text{ ta có: }\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2=\sqrt{x^2\left(x-1\right)}+\sqrt{x\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt{x-1}+\sqrt{1-\frac{1}{x}}\)

.......... Làm nào nữa bn tự nghĩ nhé!! mk quên rồi! nhưng chỉ có x =  0 mới thỏa mãn thui!! pp 

thanks pn

nhưng mik cx phân tích đc 1 nghiệm rồi

nhưng nó sai ở đâu nên ko ra đoạn cuối

\(a,A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)                  ĐKXĐ: x> 0

   Với x = 81 ta có: 

\(A=\frac{\sqrt{81}+1}{\sqrt{81}}=\frac{9+1}{9}=\frac{10}{9}\)

b,

\(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1\ne0\\\sqrt{x}-2\ne0\\x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\\x\ne4\end{cases}}}\)

\(B=\frac{3x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\frac{3x}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{3x-x+1+x-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{3x-3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{3\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{3\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}\)

Delta= b^2 -4ac = (6)^2 - 4(-m^2 +8m -8)

=> 36 +4m(m-2+2) 

=> 36+4m^2-4m+8m

=> 4m^2 - 4m +44

=> (2m)^2 - 2×(2m)(1) + 1^2 + 43

=> (2m - 1)^2 +43 

Mà (2m -1)^2 > 0 vơiz mọi m

=> (2m-1)^2 +43 > 43 với mọi m

Vậy với mọi giá trị của m thì.....