{a22​=a1​.a3​a32​=a2​.a4​​\Rightarrow{a2a3=a1a2a3a4=a2a3{a2a3=a1a2a3a4=a2a3⇒{a3​a2​​=a2​a1​​a4​a3​​=a3​a2​​​\Rightarrow\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}⇒a2​a1​​=a3​a2​​=a4​a3​​

\Rightarrow\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{a_2^3}{a_3^3}=\frac{a_3^3}{a_4^3}=\frac{a_1}{a_2}.\frac{a_2}{a_3}=\frac{a_3}{a_4}=\frac{a_1}{a_4}\left(1\right)⇒a23​a13​​=a33​a23​​=a43​a33​​=a2​a1​​.a3​a2​​=a4​a3​​=a4​a1​​(1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\frac{a_1^3}{a_2^3}=\frac{a_2^3}{a_3^3}=\frac{a_3^3}{a_4^3}=\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}\left(2\right)a23​a13​​=a33​a23​​=a43​a33​​=a23​+a33​+a43​a13​+a23​+a33​​(2)

Từ (1) và (2) \Rightarrow\frac{a_1^3+a_2^3+a_3^3}{a_2^3+a_3^3+a_4^3}=\frac{a_1}{a_4}\left(đpcm\right)⇒a23​+a33​+a43​a13​+a23​+a33​​=a4​a1​​(đpcm)

Ta có : \(f\left(1\right)=-\frac{1}{2}.1=-\frac{1}{2}\)

\(f\left(-2\right)=-\frac{1}{2}\left(-2\right)=1\)

\(f\left(-1\right)=-\frac{1}{2}\left(-1\right)=\frac{1}{2}\)

\(f\left(0\right)=-\frac{1}{2}0=0\)

Ta có : \(y=-\frac{1}{2}x=-1\Leftrightarrow x=2\)

\(y=-\frac{1}{2}x=0\Leftrightarrow x=0\)

\(y=-\frac{1}{2}x=2\Leftrightarrow x=-4\)

\(A=x^2+1\ge1\)

Dấu ''='' xảy ra <=> x = 0 

Vậy GTNN A là 1 <=> x = 0

Giải:

Bạn tự vẽ hình nhé!

a, Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\) (gt)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

hay \(\widehat{EAF}=\widehat{BAE}\), \(\widehat{BAD}=\widehat{DAF}\)

Mà BE _|_ AD tại E (gt)

\(\Rightarrow\widehat{AEB}=\widehat{AEF}=90^o\)

Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta AEF\) có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{AEF}\left(cmt\right)\\ADchung\\\widehat{BAE}=\widehat{EAF}\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABE=\Delta AFE\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow AB=AF\) (2 cạnh tương ứng)   (đpcm)

b, Vì FH // BC (gt)

nên FH // DK

\(\Rightarrow\widehat{DFH}=\widehat{FDK}\) (2 góc so le trong)

     \(\widehat{FHK}=\widehat{DKH}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta DFH\) và \(\Delta DFK\) có:

\(\hept{\begin{cases}FH=DK\left(gt\right)\\\widehat{DFH}=\widehat{FDK}\left(cmt\right)\\DFchung\end{cases}}\Rightarrow\Delta DFH=\Delta FDK\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow DH=FK\) (2 cạnh tương ứng)  (1)

      \(\widehat{DFK}=\widehat{FDH}\) (2 góc tương ứng)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

\(\Rightarrow FK//DH\) (dấu hiệu nhận biết)  (2)

Từ (1), (2) ta có đpcm

c, Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ADF\) có:

\(\hept{\begin{cases}ADchung\\\widehat{BAD}=\widehat{DAF}\left(cmt\right)\\AB=AF\left(cmt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABD=\Delta AFD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AFD}\) (2 góc tương ứng)  (3)

Ta có: \(\widehat{AFD}\) là góc ngoài của \(\Delta CDF\) tại đỉnh F

\(\Rightarrow\widehat{AFD}>\widehat{C}\)  (4)

Từ (3), (4)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}>\widehat{C}\)

hay \(\widehat{ABC}>\widehat{C}\)   (đpcm)

a, \(\frac{5}{2n+1}\)hay \(2n+1\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

tương tự 

Giải:

Hình bạn tự vẽ nhé.

a) Vì D là trung điểm của BC (gt)

nên BD = CD

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:

\(\hept{\begin{cases}BD=CD\left(cmt\right)\\ADchung\\AB=AC\left(gt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.c.c\right)\) (đpcm)

b) Ta có: \(\Delta ABD=\Delta ACD\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\) (2 góc tương ứng)

Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ADF\) có:

\(\hept{\begin{cases}ADchung\\\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\\AE=AF\left(gt\right)\end{cases}}\Rightarrow\Delta ADE=\Delta ADF\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AFD}\) (2 góc tương ứng)

Mà \(\widehat{AED}=90^o\) (vì \(DE\perp AB\) tại E)

\(\Rightarrow\widehat{AFD}=90^o\) (đpcm)

c) Ta có: AB = AC (gt)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow\widehat{B}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\) (định lí)  (1)

Lại có: AE = AF

\(\Rightarrow\Delta AEF\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\frac{180^o-\widehat{EAF}}{2}\) (định lí)

hay \(\widehat{AEF}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}\)  (2)

Từ (1), (2)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{B}\)

Mà 2 góc này ở bị trí đồng vị

\(\Rightarrow EF//BC\) (dấu hiệu nhận biết)  (đpcm)