e lon ton chạy trên đường

Giải: Xét tam giác ACD có F,G lần lượt là trung điểm AC,DC nên FG là đường trung bình
⇒⇒FG//ADFG//AD
C/m tương tự đc EH//AD;GH//EF//BCEH//AD;GH//EF//BC
⇒EFGH⇒EFGH là hình bình hành
a/Để EFGH là hình chữ nhật thì góc FGH=90oFGH=90o
⇒gócHGD+gócFGC=90o⇒gócHGD+gócFGC=90o
Mà góc HGD=góc BCD;góc FGC= góc ADC ( góc đồng vị = nhau)
⇒⇒ góc BCD+góc ADC=90o90o
⇒⇒Để EFGH là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD cần có góc BCD+góc ADC=90o90o
b/Để EFGH là hình thoi thì FG=HG
Mà FG=1/2AD; HG=1/2BC
⇒⇒AD=BC
⇒⇒Để EFGH là hình thoi thì tứ giác ABCD có AD=BC
c/ để EFGH là hình vuông thì EFGH phải vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi⇒⇒ABCD phải có đủ cả hai điều kiện trên

Nối A với C ta có AP là đường trung tuyến của ΔACDΔACD nên

SADP=SAPC=12SADC=14SABCDSADP=SAPC=12SADC=14SABCD

Tương tự SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.

⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.

SADP=SAPC=12SADC=14SABCDSADP=SAPC=12SADC=14SABCD

Tương tự SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.SACR=SBCR=12SABC=14SABCD.

⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.⇒SAPC+SACR=SARCP=12SABCD.

Gọi H là giao điểm của AP và BQ, K là giao điểm của CR và BQ, M là giao điểm của AP và DS, N là giao điểm của CR và DS. 

Dễ thấy HKNM là hình bình hành nên các tam giác sau đây có cùng diện tích:

SAKH=SHKM=SMNH=SMNCSAKH=SHKM=SMNH=SMNC=SAKB=SMCD=SAKB=SMCD

Mà SAKR=12SAKBSAKR=12SAKB (đáy gấp đôi, chung đường cao)

Tương tự SMPC=12SMCDSMPC=12SMCD

⇒SAKH=SHKM=SMNH⇒SAKH=SHKM=SMNH=SMNC=(SAKR+SMPC)=SMNC=(SAKR+SMPC)=15SARCP.=15SARCP.

Mà SARCP=12SABCDSARCP=12SABCD

⇒SHKM+SMKN=15SABCD⇒SHKM+SMKN=15SABCD hay SKHMN=15SABCD.

Cm: Xét tứ giác AFED có AF // DE (gt)

              AD // FE (gt)

=> AFED là hình bình hành

b) Xét t/giác BFM và t/giác CEM

có: BM = MC (gt)

 \(\widehat{B_1}=\widehat{C}\) (slt của AF // DC)

\(\widehat{M_1}=\widehat{M_2}\) (đối đỉnh)

=> t/giác BFM = t/giác CEM (g.c.g)

=> S t/giác BFM = S t/giác CEM

Xét t/giác ADE và t/giác EAF

có AD = EF (do AFED là hình bình hành)

 AF = AE ( ..........................)

 AE : chung

=> t/giác ADE = t/giác EAF (c.c.c)

=> S t/giác ADE = S t/giác EAF (1)

Ta có: SAEF = S_ABME + S_BFM = S_ABME + S_MEC = S_ABCE (do S_BFM = S_MEG) (2)

Ta lại có: S_ABCD = S_ADE + S_ABCE = 2S_ADE

=> S_ADE = 1/2S_ABCD (3)

Từ (1); (2) và( 3) => S_ADE = S_ABEC = 1/2S_ABCD

a) x² + 10x + 25 - 4x² - 20x = 0

<=> 3x² + 10x - 25 = 0

<=> (x + 5)(3x - 5) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=-5\\x=\frac{5}{3}\end{cases}}\)

Vậy S = \(\left\{-5;\frac{5}{3}\right\}\)

b. (4x - 5)² - 2(4x - 5)(4x + 5) = 0

<=> (4x - 5)[(4x - 5) - 2(4x + 5)] = 0

<=> (4x - 5)(4x - 5 - 8x - 10) = 0

<=> (4x - 5)(-4x - 15) = 0 <=> \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{4}\\x=-\frac{15}{4}\end{cases}}\)

Vậy S = \(\left\{-\frac{15}{4};\frac{5}{4}\right\}\)

Đặt \(t=x^2+3x+2\), ta được :

     \(t\left(t+1\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-t-2=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t+2\right)-\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t-1=0\\t+2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+3x+1=0\\x^2+3x+4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{5}{4}=0\left(tm\right)\\\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}=0\left(ktm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}\\x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{5}-3}{2}\\x=-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\frac{\sqrt{5}-3}{2};-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right\}\)

W.L.O.G:  \(a\ge b\ge c\Rightarrow2\ge a\ge\frac{a+b+c}{3}=1\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\le0\)

\(\therefore a^2+b^2+c^2\le a^2+\left(b+c\right)^2=2\left(a-1\right)\left(a-2\right)+5\le5\)

Equality holds when \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) and ..

Ta có: a² + b² > 2ab, b² + c² > 2bc, c² + a² > 2ca

=> 2(a² + b² + c²) >= 2(ab + bc + ca)

=>3(a² + b² + c²) >= (a + b + c)²

=> a² + b² + c² >= \(\frac{\text{(a + b + c)}^2}{3}\)

=> a² + b² + c² >= 3

Dâu = xảy ra khi: a = b = c = 1