Bn tham khảo nha: ĐKXĐ: x>=0

\(\frac{x+6\sqrt{x}+34}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)^2+25}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}\)

Áp dụng BĐT cauchy ta có:

\(\sqrt{x}+3+\frac{25}{\sqrt{x}+3}\ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}+3\right).\frac{25}{\sqrt{x}+3}}=2.5=10\)

Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+3=\frac{25}{\sqrt{x}+3}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)^2=25\Rightarrow\sqrt{x}+3=5\Leftrightarrow x=4\)( vì x>=0)

Vậy GTNN của BT \(\frac{x+6\sqrt{x}+34}{\sqrt{x}+3}\)là 10 <=> x=4

Ta có : \(P=a^2\left(b+c\right)+b^2\left(a+c\right)+c^2\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-2abc\)

Gỉa sử : \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)là 3 số lẻ \(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)lần lượt bằng \(2x+1;2y+1;2z+1\left(x;y;z\in N\right)\)

\(\Rightarrow a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\left(x+y+z\right)+3⋮2\)( vô lí )

Suy ra tồn tại 1 số chẵn trong 3 số \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)

\(\Rightarrow x⋮2\Leftrightarrow x=2\)

Đưa bài toán về tìm số tự nhiên \(a,b,c\)sao cho \(\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow2abc+2=\left(a+b\right);\left(b+c\right);\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức \(\left(a+b+c\right)\left(ab+ca+ca\right)\ge9abc\)

\(\Rightarrow2abc+2\ge8abc\Leftrightarrow abc\le\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow abc=0\)nên tồn tại 1 số 0 ( nếu tồn tại 2 số   thì \(x=0\)nên loại )

Gỉa sử \(c=0\Rightarrow x=ab\left(a+b\right)=2\Leftrightarrow a=b=1\)

Vậy \(\left(a,b,c\right)=\left(1,1,0\right)\)và hoán vị thì x là số nguyên tố 

(1-a)(1-b)(1-c)\(\ge\)0 <=> 1-a-b-c+ab+ac+dc-abc \(\ge\)0  <=> a+ b+ c- ab- ac- bc \(\le\)1-abc\(\le1\)(vì với a.b,c \(\ge0=>abc\ge0=>-abc\le0\))

\(b\le1=>b^{2019}\le b;c\le1=>c^{2020}\le c=>P\le a+b+c-ab-bc-ca\le1.\)

vậy GTLN của P là 1

đạt được khi (1-a)(1-b)(1-c)=0; abc=0; b=1; c=1 => a=0; b=c =1