Cho \(x,y,z\ge0\) thỏa mãn x+y+z=3
Tìm GTNN và GTLN của \(S=x^2+y^2+z^2+\frac{9}{2}xyz\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CM
0
U
0
BC
1
30 tháng 11 2019
\(\Rightarrow2x+7-\left(\frac{-1}{3}x+\frac{7}{3}\right)=0\)
\(\Rightarrow\frac{7}{3}x=\frac{-14}{3}\)
\(\Rightarrow x=-2\)
Thay vào y=2x+7 , ta được :
\(y=2.\left(-2\right)+7=3\)
Vậy x=-2 ; y=3
Em ko chắc lắm đâu, tại yếu dạng điểm rơi tại biên này lắm.
*Tìm min
Ta có: \(S\ge x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\) (cái này dễ chứng minh) (Đẳng thức xảy ra khi có một số = 0 (hoặc 2 số "=" 0) )
Ta chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+\frac{3}{2}xyz\ge\frac{9}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+3xyz\ge2xy+2yz+2zx\)
Do \(\left[x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\right]\left[y\left(z-1\right)\left(x-1\right)\right]\left[z\left(x-1\right)\left(y-1\right)\right]\)
\(=xyz\left(x-1\right)^2\left(y-1\right)^2\left(z-1\right)^2\ge0\) nên tồn tại ít nhất 1 thừa số không âm. Ở đây em sẽ chứng minh trường hợp \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\). Các trường hợp còn lại chứng minh tương tự.
Do \(x\left(y-1\right)\left(z-1\right)\ge0\Rightarrow3xyz\ge3xy+3xz-3x\)
Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+zx-3x-2yz\ge0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+y+z\right)+\left(y-z\right)^2\ge0\)(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\) và các hoán vị.
*Tìm Max:
Chưa nghĩ ra.
Chết,bài tìm min nhầm chút:(dòng 10)
Như vậy ta cần chứng minh: \(x^2+y^2+z^2+xy+yz-3x-2yz\ge0\)
Ta có;\(VT=x\left(x+y+z-3\right)+\left(y-z\right)^2=\left(y-z\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;\frac{3}{2};\frac{3}{2}\right)\)
Như vầy nha!