Một vài bài phương trình:
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
M=x+yxy.1z≥2xy√xy.1z=2zxy√≥2z(x+y2)=4z(x+y)
=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16
Min M= 16 khi z=1/2 và x=y =1/4.
Không biết có làm đúng không nữa ~ ~ ~
Giải giúp mình bài này với le thuy linh :
Cho ba số dương x,y,z thoả mãn: 11+x+11+y+11+z=2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz
\(B=\frac{1^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{y}+\frac{2^2}{z}\ge\frac{\left(1+\sqrt{2}+2\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^2}{1}=\left(3+\sqrt{2}\right)^2\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{1}{x}=\frac{\sqrt{2}}{y}=\frac{2}{z}=\frac{1+\sqrt{2}+2}{x+y+z}=\frac{3+\sqrt{2}}{1}\)
<=> \(x=\frac{1}{3+\sqrt{2}};y=\frac{\sqrt{2}}{3+\sqrt{2}};z=\frac{2}{3+\sqrt{2}}\).
Đặt \(x=a;\frac{1}{y}=b\Rightarrow a,b>0;a^2+b^2=1\). Quy về tìm Min \(A=ab+\frac{1}{ab}\)
Ta có: \(A=\left(4ab+\frac{1}{ab}\right)-3ab\ge2\sqrt{4ab.\frac{1}{ab}}-\frac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}4ab=\frac{1}{ab}\\a=b\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2ab=1\\a=b\end{cases}}\Rightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\) (thỏa mãn \(a^2+b^2=1\))
\(\Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt{2}};y=\sqrt{2}\)
Vậy...
Nhìn giả thiết thấy nản quả:(
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(ab+bc+ca\right)\) (nhân ab +bc +ca vào hai vế)
\(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b\right)}{a^2+b^2}\le3\left(a+b+c\right)\) (chú ý giả thiết ab + bc +ca = a + b + c)
\(VT=\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+b^2}+\Sigma_{cyc}\frac{c\left(a+b\right)^2}{a^2+b^2}\)
\(\le\Sigma_{cyc}\frac{ab\left(a+b\right)}{2ab}+\Sigma_{cyc}\frac{2c\left(a^2+b^2\right)}{a^2+b^2}=3\left(a+b+c\right)\)
Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
\(PT\Leftrightarrow\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}=3x-2\)
Dễ thấy VT > 0 do đó VP > 0 \(\Leftrightarrow x>\frac{2}{3}\)
\(PT\Leftrightarrow3x-3+\sqrt{x^2+3}-2+3-\sqrt{x^2+8}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left[3+\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+3}+2}-\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+8}+3}\right]=0\)
Cái ngoặc to vô nghiệm vì: \(\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+3}+2}-\frac{\left(x+1\right)}{\sqrt{x^2+8}+3}=\frac{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x^2+8}-\sqrt{x^2+3}+1\right)}{\left(\sqrt{x^2+3}+2\right)\left(\sqrt{x^2+8}+3\right)}>0\forall x>\frac{2}{3}\)
Vậy x = 1
\(ĐKXĐ:x\ge2\)
\(\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x-2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{x+3}=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)
\(+\sqrt{x-2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{x+3}-\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}\)
\(-\sqrt{x-2}=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-1}-1\right)-\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x-1}-1\right)=0\)
\(TH1:\sqrt{x-2}-\sqrt{x+3}=0\Leftrightarrow\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\)
\(\Leftrightarrow x-2=x+3\left(L\right)\)
\(TH2:\sqrt{x-1}-1=0\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=1\Leftrightarrow x-1=1\)
\(\Leftrightarrow x=2\)(t/m đk)
Vậy x = 2
\(\sqrt{x^2+12}+5=3x+\sqrt{x^2+5}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}=3x-5\)
Dễ thấy \(VT>0\Rightarrow3x-5>0\Leftrightarrow x>\frac{5}{3}\)
\(pt\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5}-3\right)-\left(\sqrt{x^2+12}-4\right)+3x-6=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+5}+3}-\frac{x^2-4}{\sqrt{x^2+12}+4}+3\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}+3\right)=0\)
Ta có: \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+5}+3}-\frac{x+2}{\sqrt{x^2+12}+4}\)\(=\left(x+2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+5}+3}-\frac{1}{\sqrt{x^2+12}+4}\right)\)
\(=\left(x+2\right).\frac{\sqrt{x^2+12}-\sqrt{x^2+5}+1}{\left(\sqrt{x^2+5}+3\right)\left(\sqrt{x^2+12}+4\right)}>0\forall x>\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2\)
Vậy x = 2