Cho 3 số thực dương a, b, c. Tìm min \(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chuẩn hóa \(a+b+c=3\) rồi dùng hệ số bất định nha bạn.Mình nhác quá chỉ gợi ý thôi.Nếu cần thì trưa mai đi học về mình làm cho.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
nhầm
phân thức cuối là:\(\frac{c^2-ab}{2c^2+a^2+b^2}\)
giúp mình nha
Làm như thầy bạn bảo nhé!
BĐT \(\Leftrightarrow\Sigma_{cyc}\frac{2a^2-2bc}{2a^2+b^2+c^2}\ge0\) (nhân 2 vào 2 vế) (*)
\(VT_{\text{(*)}}=\Sigma_{cyc}\left(1-\frac{b^2+c^2+2bc}{2a^2+b^2+c^2}\right)=3-\Sigma_{cyc}\frac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}\)
\(\ge3-\Sigma_{cyc}\left(\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{a^2+c^2}\right)=0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Tập xác định D của hàm số là \(\left[-2;5\right]\)
Ta có: \(f'\left(x\right)=\frac{-2x+4}{2\sqrt{-x^2+4x+21}}-\frac{-2x+3}{2\sqrt{-x^2+3x+10}}\)với \(x\in\left(-2;5\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left(-2x+4\right)\sqrt{-x^2+3x+10}=\)\(\left(-2x+3\right)\sqrt{-x^2+4x+21}\)
Suy ra \(\left(-2x+4\right)^2\left(-x^2+3x+10\right)=\)\(\left(-2x+3\right)^2\left(-x^2+4x+21\right)\)(1)
Khai triển ta được: \(51x^2-104x+29=0\)
\(\Delta=104^2-4.51.29=4900,\sqrt{\Delta}=70\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{104+70}{102}=\frac{29}{17}\\x=\frac{104-70}{102}=\frac{1}{3}\end{cases}}\)
Thử lại chỉ có \(\frac{1}{3}\)là nghiệm của (1)
Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) suy ra \(f\left(x\right)_{min}=f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\sqrt{200}-\sqrt{98}}{3}\)
@ Cool@ Không sai. Làm thế cũng đc nhưng mà lớp 9 đã học đạo hàm đâu?
Phải cuối năm lớp 11 mới học mà em,
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+ba}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)
dấu "=" xảy ra tại a=b=c
Cách 2
\(P+3=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\left(a+b+c\right)\cdot\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\)
\(P=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\left(1\right)\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c=x\\c+a=y\\a+b=z\end{cases}\left(x,y,z>0\right)}\)
\(\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2}\);\(b=\frac{z+x-y}{2}\);\(c=\frac{x+y-z}{2}\)
\(\left(1\right)\)trở thành \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{y}{2x}+\frac{z}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{z}{2y}+\frac{x}{2y}-\frac{1}{2}+\frac{x}{2z}+\frac{y}{2z}-\frac{1}{2}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\right)+\left(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\right)+\left(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\right)\ge3\)
Vì \(\frac{y}{2x}+\frac{x}{2y}\ge2\sqrt{\frac{y}{2x}.\frac{x}{2y}}=1\)( bđt AM-GM)
CMTT \(\frac{z}{2x}+\frac{x}{2z}\ge1\)và \(\frac{z}{2y}+\frac{y}{2z}\ge1\)
rồi cộng vào là xong
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y}{2x}=\frac{x}{2y}\\\frac{z}{2x}=\frac{x}{2z}\\\frac{z}{2y}=\frac{y}{2z}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x^2=2y^2\\2z^2=2x^2\\2y^2=2z^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=y\\z=x\\y=z\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=z\)
Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z\)