Điểm quỹ tích của D' là BC

Điểm quỹ tích của D' là BC

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

\(P=\left(a+\frac{1}{b}+1\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)^2\ge\frac{\left(a+\frac{1}{b}+1+b+\frac{1}{a}+1\right)^2}{2}\) (BĐT quen thuộc)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{361}a\right)+\left(\frac{1}{b}+\frac{4}{361}b\right)+\frac{357}{361}\left(a+b\right)+2\right]^2\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(\frac{4}{19}+\frac{4}{19}+\frac{357}{361}\cdot19+2\right)^2=\left(\frac{403}{38}\right)^2\)

Dấu "='' xảy ra khi: \(a=b=\frac{19}{2}\)

Sai thì bỏ qua:))

\(\left(a+\frac{1}{b}+1\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)^2\ge\frac{\left[\left(a+\frac{1}{b}+1\right)+\left(b+\frac{1}{a}+1\right)\right]^2}{2}\)\(=\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+2\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}+2\right)^2}{2}=\frac{\left(19+\frac{4}{19}+2\right)^2}{2}=...\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{19}{2}\)

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung  và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc  hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg =  = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  và 

Dự đoán: Quỹ tích điểm I là hai cung  là các cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB.

Chứng minh:

+ Phần thuận :

Theo phần a):  không đổi

I nằm trên cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định

Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt hai cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB tại C và D

Khi M di động trên đường tròn đường kính AB cố định thì I di động trên cung BC và BD

⇒ I nằm trên hai cung  chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định.

+ Phần đảo:

Lấy điểm I bất kỳ nằm trên hai cung  nhìn AB dưới 1 góc 26º34’.

AI cắt đường tròn đường kính AB tại M.

⇒ BM /MI = tan I = 1/2.

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  nhìn AB dưới góc 26º34’ (hình vẽ).

Trình tự dựng gồm 3 bước:

- Dựng đoạn thẳng BC = 6cm

- Dựng cung chứa góc 40^o trên đoạn thẳng BC.

- Dựng đường thẳng xy song song với BC và cách BC một khoảng là 4cm như sau:

Trên đường trung trực d của đoạn thẳng BC lấy đoạn HH' = 4cm (dùng thước có chia khoảng mm). Dựng đường thẳng xy vuông góc với HH' tại H

Gọi giao điểm xy và cung chứa góc là , . Khi đó tam giác ABC hoặc A'BC đều thỏa yêu cầu của đề toán

Cách dựng:

+ Dựng đoạn thẳng BC = 6cm.

+ Dựng cung chứa góc 40º trên đoạn thẳng BC (tương tự bài 46) :

Dựng tia Bx sao cho 

Dựng tia By ⊥ Bx.

Dựng đường trung trực của BC cắt By tại O.

Dựng đường tròn (O; OB).

Cung lớn BC chính là cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC.

+ Dựng đường thẳng d song song với BC và cách BC một đoạn 4cm:

Lấy D là trung điểm BC.

Trên đường trung trực của BC lấy D’ sao cho DD’ = 4cm.

Dựng đường thẳng d đi qua D’ và vuông góc với DD’.

+ Đường thẳng d cắt cung lớn BC tại A.

Ta được ΔABC cần dựng.

Chứng minh:

+ Theo cách dựng có BC = 6cm.

+ A ∈ cung chứa góc 40º dựng trên đoạn BC

+ A ∈ d song song với BC và cách BC 4cm

⇒ AH = DD’ = 4cm.

Vậy ΔABC thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Biện luận: Do d cắt cung lớn BC tại hai điểm nên bài toán có hai nghiệm hình.

Tam giác \(ABO\)vuông tại \(O\). Do đó điểm \(O\)luôn thuộc đường tròn đường kính \(AB\)(trừ 2 điểm \(A\)và \(B\)).

Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau, vậy điểm O nhìn AB cố định dưới góc 90^o.

Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB

Trình tự dựng như sau:

- Dựng đoạn thẳng AB = 3cm (dùng thước đo chia khoảng mm)

- Dựng góc  = 55^o (dùng thước đo góc và thước thẳng)

- Dựng tia Ay vuông góc với Ax (dùng êke)

- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB (dùng thước có chi khoảng và êke). Gọi O là giao điểm của d và Ay.

- Dựng đường tròn tâm O, bán kính OA (dùng compa)

Ta có: là cung chứa góc 55^odựng trên đoạn thẳng AB = 3cm (một cung)

Dựng đoạn thẩng AB bằng 3cm dựng góc xAB =55* dựng tia AY vuông góc vs tia Ax dựng đg trung trực d của đoạn thẳng AB/ d cắt Ay tại O . Dựng đg tròn tâm O bán kính OA  cung AmB  là góc 55 độ cần dựng

Đk: \(\forall\)x \(\in\)R

\(x^2+5x+\sqrt{x^2+5x+30}=12\)

<=> \(x^2+5x+30+\sqrt{x^2+5x+30}-42=0\)

Đặt \(\sqrt{x^2+5x+30}=a\)(a > 0) <=> \(x^2+5x+30=a^2\)

Khi đó, ta có: \(a^2+a-42=0\)

<=> \(a^2+7a-6b-42=0\)

<=> \(\left(a-6\right)\left(a+7\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=6\left(tm\right)\\a=-7\left(ktm\right)\end{cases}}\)

<=> \(\sqrt{x^2+5x+30}=6\)

<=> \(x^2+5x+30=36\)

<=> \(x^2+5x-6=0\)

<=> \(x^2+6x-x-6=0\)

<=> \(\left(x+6\right)\left(x-1\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-6\\x=1\end{cases}}\)

Vậy S = {-6; 1}

\(ĐKXĐ:x\inℝ\)

\(x^2+5x+\sqrt{x^2+5x+30}=12\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+30+\sqrt{x^2+5x+30}=42\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+30\right)+\sqrt{x^2+5x+30}-42=0\)(1)

Đặt \(\sqrt{x^2+5x+30}=a\)( \(a\ge0\))

\(\Rightarrow x^2+5x+30=a^2\)

Từ (1) \(\Rightarrow a^2+a-42=0\)

\(\Leftrightarrow a^2-6a+7a-42=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-6\right)+7\left(a-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-6\right)\left(a+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-6=0\\a+7=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=6\\a=-7\end{cases}}\)

\(\Rightarrow a=-7\)loại vì \(a\ge0\)

\(\Rightarrow a=6\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5x+30}=6\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x+30=36\)\(\Leftrightarrow x^2+5x-6=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+6x-6=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x-1\right)+6\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+6\right)=0\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-6\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-6\right\}\)

4 tia vì 2 + 2 = 4

có C = 1/2 ( sđ AN- sđ MB ) 

D= = 1/2 ( sđ AM - sđ NB ) 

mà góc C= D 

nên sđ AN - sđ MB = sđ AM - sđ NB 

=> sđ AN + sđ NB = sđ MB + sđ AM 

=> sđAB = sđ AB 

=> AB là đường kính của đg tròn ( O ) 

khi đó AMB = ANB = 90 độ ( góc nội tiếp chắn nửa đg tròn ) mà MD , CN , AB giao nhau tại B => B là trực tâm tgiac ACD => AB vuông góc CD 

Có C=1/2(sđAN-sđMB)

D=1/2(sđAM-sđNB)

Mà góc C =D 

Nên sđAN-sđMB=sđAM-sđNB

=>sđAN+sđNB=sđMB+sđAM 

=>sđAB=sđAB

=>AB là đường kính đường tròn (O)

khi đó AMB=ANB=90độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) mà MD, CN, AB giao nhau tại B => B là trực tâm tam giác ACD => AB vuông góc CD