Bất đẳng thức

<=> \(\frac{a\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)^2}\ge\frac{9}{4}\)

VT = \(\left(\frac{a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{\left(a+c\right)^2}+\frac{c^2}{\left(a+b\right)^2}\right)+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

\(\ge\frac{1}{3}.\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)^2+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

lại có:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\left(a+b+c\right).\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}-3=\frac{3}{2}\)

=> VT\(\ge\frac{1}{3}.\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c.

Hoặc em có thể áp dụng Bunhia

bất đẳng thức 

<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{\left(b+c\right)^2}+\frac{b}{\left(c+a\right)^2}+\frac{c}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)

VT\(\ge\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}\right)^2\ge\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\)

a)Để hàm số nghịch biến trên R thì 4-2a<0

<=>4<2a

<=>2<a

Vậy a>2 thì hàm số nghịch biến trên R

b)Để hàm số y=(4-2a)x+b là đường thẳng song song với đường thẳng y=2x+1 thì

4-2a=2 và b \(\ne\) 1

<=>a=1 và  b \(\ne\) 1  (1)

Để hàm số y=(4-2a)x+b đi qua C(-1;2) thì x=-1 và y=2 (2)

Thay(1),(2)vào hàm số y=(4-2a)x+b

=>2=2(-1)+b

<=>b=4(TMĐK)

Vậy hàm số cần tìm là y=2x+4

Chúc bạn học tốt

Gọi số tự nhiên cần tìm là \(\overline{ab}\) ( 0< a; b< 9)

=> Sau khi đổi chỗ ta có số: \(\overline{ba}\)

Theo bài ra ta có: \(\overline{ba}-\overline{ab}=45\)

<=> b.10 + a -  a.10 -b = 45

<=> 9 ( b - a ) = 45

<=> b - a = 5

+)  a = 1 => b = 6

+) a = 2 => b = 7

+) a = 3 => b = 8

+) a = 4 => b = 9

+) a >4 => b >9 loại

Vậy:...

Ta có: 

\(\left(a^2+b^2\right)^2=a^4+b^4+2a^2b^2\)=> \(a^2b^2=\frac{1}{4}\)

\(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}\)

\(a^4+b^4=\frac{1}{2^1}\) 

\(a^6+b^6=\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^2+b^2\right)=\frac{1}{2}.1-\frac{1}{4}.1=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}\)

\(a^8+b^8=\left(a^6+b^6\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^4+b^4\right)=\frac{1}{4}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}\)

...

Như vậy chúng ta sẽ đoán được: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)(1) với n là số tự nhiên.

Chúng ta chứng minh (1) quy nạp theo n.

+) Với n = 0; có: \(a^2+b^2=\frac{1}{2^0}=1\)đúng 

=> (1) đúng với n = 1

+) Giả sử (1) đúng cho tới n 

khi đó: \(a^{2n+2}+b^{2n+2}=\frac{1}{2^n}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với n + 1

Ta có: \(a^{2\left(n+1\right)+2}+b^{2\left(n+1\right)+2}=a^{2n+4}+b^{2n+4}\)

\(=\left(a^{2n+2}+b^{2n+2}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\)

\(=\frac{1}{2^n}.1-\frac{1}{4}.\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^{n+1}}\)

=> (1) đúng với n + 1

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên  n.

Do đó:

\(P=a^{2020}+b^{2020}=a^{2.1009+2}+b^{2.1009+2}=\frac{1}{2^{1009}}\)

Cảm ơn bạn rất nhiều.

giúp với!!

Gọi thời gian vòi thứ nhất và vòi thứ 2 chảy 1 mình đầy bể lần lượt là x; y ( > 0; h )

1 giờ vòi thứ nhất chảy được : \(\frac{1}{x}\)(bể)

1 giờ vòi thứ 2 chảy được : \(\frac{1}{y}\)( bể )

+) Cả hai vòi nước chảy trong 1 h thì được nửa bể

=> Có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

+) Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2 h; vòi thứ 2 chảy trong 1 h thì được 5/6 bể

=> Có phương trình: \(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\)

Vậy ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\\\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{6}\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{3}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\end{cases}}\)<=> x = 3 và y = 6 ( tmđk)

Vậy ...

Hoành độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm phương trình là:

( m - 5 ) x + 1 = 3mx - 2

Theo đề ra: x = -2 là nghiệm phương trình nên : ( m- 5 ) (-2) + 1 = 3m (-2) - 2

<=> -2m + 10 + 1 = -6m -2

<=> 4m = -13

<=> m = -13/4

Vậy:...