tìm số tự nhiên n sao cho n^4 + 4 là lũy thừa của 2
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐK: \(5-x^2>0\)
\(\frac{x^3}{\sqrt{5-x^2}}-8\left(5-x^2\right)=0\)
Đặt: \(\sqrt{5-x^2}=t>0\)
ta có: \(x^3-8t^3=0\)
<=> \(\left(x-2t\right)\left(x^2+2xt+4t^2\right)=0\)
<=> x - 2t = 0 ( vì x^2 + 2xt + 4t^2 =( x+ t) ^2 + 3t^2 >0)
<=> x = 2t
Ta có: \(x=2\sqrt{5-x^2}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\5x^2=20\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x\ge0\\x=\pm2\end{cases}}\Leftrightarrow x=2\)( thỏa mãn đk xđ)
vậy S = { 2 }
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
+) điều kiện \(-1\le x\le1\)
+) đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{1-x};a\ge0\\b=\sqrt{1+x};b\ge0\end{cases}=>3-x=2a^2+b^2}\)
+) phương trình trở thành
\(2a-b+3ab=2a^2+b^2\Leftrightarrow2a^2-a\left(2+3b\right)+b^2+b=0\left(1\right)\)
ta có \(\Delta_a=\left(2+3b\right)^2-8\left(b^2+b\right)=\left(b+2\right)^2.\)phương trình (1) có nghiệm là \(\orbr{\begin{cases}a=\frac{2+3b-\left(b+2\right)}{4}=\frac{b}{2}\\a=\frac{2+3b+\left(b+2\right)}{4}=b+1\end{cases}}\)
+) zới \(a=\frac{b}{2}=>2\sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow x=\frac{3}{5}\)
+) zới a=b+1\(=>\sqrt{1-x}=\sqrt{1+x}+1\Leftrightarrow x=\frac{-\sqrt{3}}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)(t/c tiếp tuyến )
mà 2 góc này ở zị trí đối diện
=> tứ giác ABOC nối tiếp
=>ABC=AOB
b)Zì A là giao điểm 2 tiếp tuyến AB zà AC
=>\(\hept{\begin{cases}AB=AC\\OB=OC\end{cases}=>OA}\)là đường trung trực của BC
=>\(OA\perp BC\)
ta có \(\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90^0\)( do tam giác ABE zuông tại E)
\(\widehat{BAE}+\widehat{BOE}=90^0\)( do tam giác ABO zuông tại B)
=> \(\widehat{ABE}=\widehat{BOE}\)
xét tam giác ABE zà tam giác BOE có
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AEB}=\widehat{BEO}\left(=90^0\right)\\\widehat{ABE}=\widehat{BOE}\left(cmt\right)\end{cases}=>}\)tam giác ABE \(~\)tam giác BOE (g.g)
=>\(\frac{AB}{BO}=\frac{AE}{BE}=>AB.BE=AE.BO\left(dpcm\right)\)
c)xét tứ giác IBDO có
\(\widehat{DBO}=\widehat{DIO}=90^0\)
mà 2 góc này cùng chắn cung OD=>IBDO là tứ giác nội tiếp
=>\(\widehat{EBO}=\widehat{ODF}\)(cùng chắn cung OI) (1)
ta có OB=OC => tam giác OBC cân tại O
=>\(\widehat{EBO}=\widehat{ECO}\)(2)
từ 1 zà 2 =>\(\widehat{ODF}=\widehat{ECO}\)hay \(\widehat{IDO}=\widehat{BCO}\)(3)
xét tứ giá IOCF có \(\widehat{ÒI}F=\widehat{OCF}=90^0\)
mà 2 góc này ở zị trí đối diện
=> tứ giác IOCF nội tiếp
=>\(\widehat{IFO}=\widehat{ECO}\)(cùng chắn cung OI) (4)
từ 3 zà 4
=>\(\widehat{IFO}=\widehat{DFO}=\widehat{FDO}\)
=>tam giacsDOF cân tại O
d)tam giác DOF cân => Oi là đường coa đồng thời là đường trung tuyến
=> I là trung điển của DF
mặt khác I là trung điểm của BE
=> tứ giác BDEF là hbh
=> BD//EF
hay AB//ÈF
xét tam giác ABC có
E là trung điểm cua BC (t/c tiếp tuyến)
EF//AB
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
=> F là trung điểm của AC(dpcm
\(n^4+4=2^k\text{ ta có:}2^k\ge4\Rightarrow n\text{ chẵn}\Rightarrow n=2x\left(\text{x là số tự nhiên}\right)\Rightarrow16x^4+4=4\left(4x^4+1\right)\)
\(\text{chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 8 vì }4x^4+1\text{ là số lẻ}\Rightarrow2^k=4\Rightarrow n=0\)
vậy: k=2;n=0