Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn nội tiếp đường tròn tâm $O$, hai đường cao $BD$ và $CE$. Chứng minh tứ giác $BCDE$ nội tiếp được trong một đường tròn.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do BM là tiếp tuyến của đường tròn nên
Xét đường tròn (O) có AD là một dây cung. Lại có E là trung điểm AD nên theo tính chất của đường kính và dây cung, ta có hay .
Xét tứ giác OEBM có , chúng lại là hai góc kề nhau nên OEBM là tứ giác nội tiếp.
Cho tam giác có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm . Hai tiếp tuyến tại và cắt nhau tại . cắt đường tròn tại điểm thứ hai . Gọi là trung điểm đoạn . Chứng minh là tứ giác nội tiếp.
theo bai ta co là trung điểm đoạn
Ta có: góc AKP = 90độ ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà AK giao MN tại H =) Góc HKP = 90độ (1)
Lại có: MC vuông góc AB =) Góc HCB = 90độ (2)
Từ (1) và (2) =) góc HKP + góc HCP = 180độ
Mà 2 góc đối nhau
=) Tứ giác BCHK nội tiếp
Ta có: MP vuông góc AB (gt)
=) Góc MPA = 90độ (1)
Lại có: MQ vuông góc AC (gt)
=) Góc MQA = 90 độ (2)
Từ (1) và (2) =) góc MPA + góc MQA = 180độ
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
=) Tứ giác APMQ nội tiếp
Ta có: AC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) AC vuông góc OA
=) Góc OAC = 90độ (1)
Lại có: DC là tiếp tuyến của (O) (gt)
=) DC vuông góc OD
=) Góc ODC = 90độ (2)
Từ (1) và (2) =) góc ODC + góc OAC = 180 độ
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
=) Tứ giác OACD nội tiếp
a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O1) , (O2) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.
Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên , do đó APQB là tứ giác nội tiếp.
c) Ta có
nên PQ tiếp xúc nửa đường tròn (O1) tại P.
Tương tự , PQ tiếp xúc (O2) tại Q hay PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O1) và (O2)
hình bạn tự vẽ nha :
a.Ta có:
đường tròn đường kính
b.Từ câu a
Mà đều,
Do
đều
là hình thoi
a) Có nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên .
Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và ; suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.
c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó
Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.
Theo giả thuyết suy ra các cung bằng nhau :
\(\widebat{AD}=\widebat{AF}=\widebat{DB}=\widebat{FC}\)
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\)mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AD//EF\) \(\left(1\right)\)
\(\widehat{A_2}=\widehat{C}_1\) mà 2 góc ở vị trí sole trong \(\Rightarrow AF//CD\) \(\left(2\right)\)
và \(AD=EF\) \(\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Rightarrow\)ADEF là hình thoi
Ta có :
Do BD và CE là các đường cao nên
suy ra góc BEC = góc BDC =90 độ
Xét tứ giác BCDE,có:
góc BEC=góc BDC
vậy BCDE là tứ giác nội tiếp(đpcm)