Cho \(0\le x,y,z,t\le1\). Chứng minh rằng   \(\frac{x}{yzt+1}+\frac{y}{ztx+1}+\frac{z}{txy+1}+\frac{t}{xyz+1}\le3\).

Chứng minh rằng với mọi số thực \(x\), luôn có    \(4x^8-2x^7+x^6-3x^4+x^2-x+1>0\).

Cho \(x,y\)là hai số thực lớn hơn \(\sqrt{2}\). Chứng minh rằng   \(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4>x^2+y^2\).

Cho \(a,b,c\) là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng     

\(\frac{ab}{a^5+b^5+ab}+\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ca}{c^5+a^5+ca}\le1\).

Cho \(0\le a,b,c\le2\) và  \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng  \(a^2+b^2+c^2\le5\).

Cho ba số dương \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+ab+bc+ca=6abc\)      . Chứng minh rằng

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\).

Cho \(x,y\) là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng    \(x^2+y^2+xy-3x-3y+3\ge0\).

Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn có tổng bằng 3.  Chứng minh rằng

\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge3\).

Cho a, b  là hai số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1)  \(a^2-ab+b^2\ge0\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

2) \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\). Khi nào xảy ra đẳng thức?

Cho ba số \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện  \(z\ge y\ge x\ge0\). Chứng minh rẳng

     \(x\left(x-y\right)\left(x-z\right)+y\left(y-z\right)\left(y-x\right)+z\left(z-x\right)\left(z-y\right)\ge0\)