Bài làm:

Ta có: \(M=\left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\left(\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)\) \(\left(x>0;x\ne1\right)\)

\(M=\frac{x-1}{2\sqrt{x}}.\frac{\left(x-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(x+\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(M=\frac{x\sqrt{x}-2x+\sqrt{x}-x\sqrt{x}-2x-\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}\)

\(M=\frac{-4x}{2\sqrt{x}}\)

\(M=-2\sqrt{x}\)

sin E = DF/EF = 3/4. Đặt DF = 3x; EF = 4x.

Theo định lý Pytago, ta có:

DE^2 + DF^2 = EF^2. => 5^2 + (3x)^2 = (4x)^2.

=> 25 + 9x^2 = 16x^2. => 25 = 7x^2. => x = Căn(25/7).

=> DF = 3.Căn(25/7) cm; EF = 4.Căn(25/7) cm.

a) Đầu tiên bạn tự đi chứng minh hai công thức sau, do quá dài nên bạn có thể lên mạng tham khảo cách chứng minh:

\(\sin2a=2\sin a.\cos a\)

\(cos2a=cos^2a-sin^2a\)

Áp dụng hai công thức trên ta có:

\(sin30^o=2sin15^ocos15^o\Leftrightarrow sin15^ocos15^o=\frac{1}{4}\Leftrightarrow cos15^o=\frac{1}{4sin15^o}\)

\(cos30^o=cos^215^o-sin^215^o\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}=cos^215^o-sin^215^o\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{4sin^215^o}\right)^2-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{16sin^415^o}-sin^215^o=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Leftrightarrow-32sin^415^o-16sin^215^o\sqrt{3}+2=0\)

\(\Leftrightarrow sin^215^o=\frac{2-\sqrt{3}}{4}\left(sin^215^o\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow sin15^o=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}}=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}{4\sqrt{2}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\left(đpcm\right)\)

a) ta có với n nguyên dương n²+n+1=n²+2n+1-n=(n+1)²-n

như vậy có n²<n²+n+1<n²+2n+1 hay n²<n²+n+1<(n+1)²

mà n² và (n+1)² là 2 số chính phương liên tiếp

=> n²+n+1 không là số chính phương với mọi n nguyên dương (đpcm)

dùng bunhia cho phần mẫu số là ra 

Ta có:

\(x^4+y^4+y^4+16\ge4\sqrt[4]{16x^4y^8}=8xy^2\)

Tương tự:

\(y^4+z^4+z^4+16\ge8yz^2\)

\(z^4+x^4+x^4+16\ge8zx^2\)

Cộng vế với vế ta được: \(3\left(x^4+y^4+z^4\right)+48\ge8xy^2+8yz^2+8zx^2\)

\(\Leftrightarrow24\ge xy^2+yz^2+xz^2\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2

:))

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3\Leftrightarrow xy+yz+xz=3xyz\)

\(\Rightarrow3xyz=xy+yz+xy\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)

\(\Rightarrow x^3y^3z^3\ge x^2y^2z^2\Leftrightarrow\left(x^2y^2z^2\right)\left(xyz-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz\ge1\left(x^2y^2z^2>0\right)\)

\(\Rightarrow P=x+\frac{y^2}{2}+\frac{z^3}{3}\)

\(=\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{x}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{y^2}{6}+\frac{z^3}{6}+\frac{z^3}{6}\)

\(\ge11\sqrt[11]{\frac{x^6y^6z^6}{6^{11}}}\ge\frac{11}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

a) ta có \(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b+c}{\sin B+\sin C}=\frac{2a}{\sin B+\sin C}\)

do đó \(2a\cdot\sin A=a\left(\sin B+\sin C\right)\)

\(\Rightarrow2\sin A=\sin B+\sin C\)

b) ta có \(\frac{2}{h_a}=\frac{2a}{h_a\cdot a}=\frac{2a}{2S_{ABC}}=\frac{a}{S_{ABC}}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{b}{h_b\cdot b}+\frac{c}{h_c\cdot c}=\frac{b}{2S_{ABC}}+\frac{c}{2S_{ABC}}=\frac{b+c}{2S_{ABC}}=\frac{2a}{2S_{ABC}}=\frac{a}{S_{ABC}}\left(2\right)\)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{2}{h_a}=\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}\)