\(ĐK:\hept{\begin{cases}2x+2\ge0\\x-1>0\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x>1\end{cases}}\) 

\(x>1\) 

\(\frac{2x+2}{x-1}=x-1\) 

\(2x+2=\left(x-1\right)^2\) 

\(2x+2=x^2-2x+1\) 

\(0=x^2-2x-2x+1-2\) 

\(x^2-4x-1=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}x=2+\sqrt{5}\left(n\right)\\x=2-\sqrt{5}\left(l\right)\end{cases}}\) 

Vậy nghiệm là \(2+\sqrt{5}\)

Phương trình (2) là phương trình đường thẳng \(\Delta:\left(2m+1\right)x+my+m-1=0\)

Phương trình (1) có dạng phương trình đường tròn: \(\left(C\right):x^2+y^2=9\)có tâm là \(O\left(0,0\right)\)và bán kính R=3

Hệ có hai nghiệm \(\left(x_1;y_1\right),\left(x_2;y_2\right)\)\(\Leftrightarrow\)đường thẳng \(\Delta\)cắt \(\left(C\right)\)tại 2 điểm \(M\left(x_1;y_1\right),N\left(x_2;y_2\right)\). Khi đó \(MN=\sqrt{\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2}\)\(\Leftrightarrow A=MN^2=\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2\)

Biểu thức A đạt GTLN khi \(\Delta\)đi qua tâm O của đường tròn, tức là: \(\Delta:\left(2m+1\right).0+m.0+m-1=0\Leftrightarrow m=1\)

Áp dụng bđt AM-GM:

\(A=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\ge3\)

 Dấu "=" xảy ra tại \(a-b=b=\frac{1}{b\left(a-b\right)}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\left(tm\right)\)

KL: \(A_{min}=3\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)

AM-GM là gì vậy 

Ta có: \(x^2+x+1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\left(\forall x\right)\)

=> \(y=\frac{1}{x^2+x+1}\le\frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Vậy \(Min_y=\frac{4}{3}\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

Ta có: 

\(A=xy+yz+zx-x^2-y^2-z^2\)

\(\Rightarrow2A=2xy+2yz+2zx-2x^2-2y^2-2z^2\)

\(=-\left(x^2-2xy+y^2\right)-\left(y^2-2yz+z^2\right)-\left(z^2-2zx+x^2\right)\)

\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2\)

=> \(A=-\frac{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}{2}\le0\left(\forall x\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=0\\\left(y-z\right)^2=0\\\left(z-x\right)^2=0\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)

Vậy Max(A) = 0 khi x = y = z

Ta có A = xy + yz + zx - x² - y² - z²

=> 2A = 2xy + 2yz + 2zx - 2x² - 2y² - 2z²

=> 2A = -(x² - 2xy +  y²) - (y² - 2yz + z²) - (x² - 2zx + z²)

=> 2A = -(x - y)² - (y - z)² - (z - x)²

=> 2A = -[(x - y)² + (y - z)² + (z  - x)²]

=> A = \(\frac{-1}{2}\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x^2\right)\right]\le0\forall;y;z\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x-y=0\\y-z=0\\z-x=0\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)

Vậy Max A = 0 <=> x = y = z

ĐKXĐ: \(-1\le x,y\le1\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{1-x}+\sqrt{1-y}=\sqrt{2}\left(3\right)\\\sqrt{1+x}+\sqrt{1+y}=\sqrt{6}\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}1-x+1-y+2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=2\\1+x+1+y+2\sqrt{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}=6\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}2\sqrt{1-x-y+xy}=x+y\left(1\right)\\2\sqrt{xy+x+y+1}=4-x-y\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) cộng vế theo vế:

\(2\sqrt{xy-x-y+1}+2\sqrt{xy+x+y+1}=4\)

<=>\(\sqrt{xy-x-y+1}+\sqrt{xy+x+y+1}=2\)(đk: - 1 < = x,y < = 1)

<=> \(xy-x-y+1+xy+x+y+1+2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=4\)

<=> \(2\sqrt{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)}=2-2xy\)

<=> \(\sqrt{x^2y^2-x^2-y^2+1}=1-xy\) (đk: xy < = 1)

<=> \(x^2y^2-x^2-y^2+1=x^2y^2-2xy+1\)

<=> \(x^2+y^2-2xy=0\)

<=> \(\left(x-y\right)^2=0\) <=> \(x=y\)

Thay x = y vào pt (3) => \(2\sqrt{1-x}=\sqrt{2}\) (đk: -1 < = x < = 1)

<=> 4(1 - x) = 2 <=> 4 - 4x = 2 <=> 2 = 4x <=> x = 1/2

=> x = y = 1/2 (tm)