* n = 0 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=1+1-2=0⋮17\)

* n = 1 thì \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}=36+19-4=51⋮17\)

Giả sử khẳng định đúng với n = k tức là \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)

Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1

Thật vậy: \(6^{2\left(k+1\right)}+19^{k+1}-2^{k+2}=6^{2k}.36+19^k.19-2^{k+1}.2=2\left(6^{2k}+19^k-2^{k+1}\right)+34.6^{2k}+17.19^k⋮37\)(Do \(6^{2k}+19^k-2^{k+1}⋮17\)theo giả thiết quy nạp)

Vậy \(6^{2n}+19^n-2^{n+1}⋮17\forall n\inℕ\left(đpcm\right)\)

Không mất tổng quát giả sử \(0< x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\ge\frac{1}{y}\ge\frac{1}{z}>0\) khi đó ta có:

\(2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{3}{x}\)

\(\Leftrightarrow2\le\frac{3}{x}\Rightarrow x\le\frac{3}{2}\) mà \(x\inℤ^+\) nên \(x=1\)

Thay vào ta được: \(\frac{1}{1}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\) mà \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{2}{y}\Leftrightarrow y\le2\) mà \(y\inℤ^+\) nên \(y\in\left\{1;2\right\}\)

Nếu y = 1 => \(\frac{1}{z}=0\) (vô lý)

Nếu y = 2 => \(\frac{1}{z}=\frac{1}{2}\Rightarrow z=2\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=z=2\end{cases}}\) và các hoán vị của nó

Vai trò của x, y, z là như nhau nên ta giả sử \(x\ge y\ge z>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}\Rightarrow2=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\le\frac{3}{z}\Rightarrow0< z\le\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow z=1\)(Vì z nguyên)

Do đó \(1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{y}\Rightarrow0< y\le2\)

+) Xét y = 1 thì \(\frac{1}{x}=0\)(vô lí, loại)

+) Xét y = 2 thì \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\)

Vậy (x; y; z) = (2; 2; 1) và các hoán vị

Ta có \(\frac{bz-cy}{a}=\frac{cx-az}{b}=\frac{ay-bx}{c}\)

=> \(\frac{abz-acy}{a^2}=\frac{bcx-abz}{b^2}=\frac{acy-bcx}{c^2}=\frac{abz-acy+bcx-abz+acy-bcx}{a^2+b^2+c^2}\)

                                                                                     \(=\frac{0}{a^2+b^2+c^2}=0\)

=> \(\hept{\begin{cases}bz-cy=0\\cx-az=0\\ay-bx=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}bz=cy\\cx=az\\ay=bx\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{c}{z}=\frac{b}{y}\\\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\\\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\end{cases}}\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)(đpcm)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(Σ\frac{\sqrt{x^2+1}-x}{yz}=Σ\frac{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}-x}{yz}=Σ\frac{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}-x}{yz}\leΣ\frac{\frac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}-x}{yz}\)

\(=Σ\frac{\frac{2x+y+z}{2}-x}{yz}\leΣ\frac{\frac{y+z}{2}}{yz}=Σ\frac{y+z}{2yz}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Giúp mình vs mn