Do \(x+yz=1-y-z+yz=\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)

tương tự ta có \(\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy}=\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}+\frac{z}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\le\frac{9}{4}\)quy đồng khử mẫu ta có

\(8\left(xy+yz+xz\right)\le9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=9\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)(1)

sau rút gọn ta được vế phải

\(VP=9\left(1-\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)-xyz\right)=9\left(xy+yz+xz\right)-9xyz\)thế lại vào (1)

\(9xyz\le xy+yz+xz\)

điều này đúng do \(\hept{\begin{cases}xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\\1=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\end{cases}}\)

dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(pt\Leftrightarrow x^2-4=x^2-2xm+m^2\Leftrightarrow2xm-m^2=4\Leftrightarrow2xm-4=m^2\)

m-4/m=2x

nhầm tí

\(m=x-\sqrt{x^2-4}\)

với x=<-2;x>=2

Vẽ đường phân giác AD, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AD

Theo tính chất đường phân giác, ta có: \(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{b+c}{a}\Rightarrow\frac{BD}{AB}=\frac{a}{b+c}\)

Suy ra \(\sin\frac{A}{2}=\sin BAD=\frac{BH}{BA}\le\frac{BD}{AB}=\frac{a}{b+c}\)(đpcm)

Kiệt nguyễn

\(\frac{sinA}{2}\ne sin\frac{A}{2}\)