Ta có:

\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b-1}.\frac{b^2}{a-1}}\)

\(=2.\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\)

Vì \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}\ge2;\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge2\Rightarrow A\ge8\)

=> min A=8 <=> a=b=2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :

\(A=\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Đặt a + b - 2 = x => x > 0

Khi đó \(A\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}=\frac{\left(x+2\right)^2}{x}=\frac{x^2+4x+4}{x}=\left(x+\frac{4}{x}\right)+4\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}+4=8\)( AM-GM )

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 => a=b=2

Vậy MinA = 8 <=> a=b=2

bạn tự vẽ hình nha

ở câu b phải là đường thẳng QH chứ ko phải đt Q

bài làm

a,

SP, SQ  là 2 tiếp tuyến của ( O )

=> SP vg với OP và SQ vg vs OQ

=> SPO = 90 độ và SQO = 90 độ

Xét tứ giác SPOQ có : SPO + SQO = 90 độ +  90 độ = 180 độ

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau của tứ giác SPOQ

=> Tứ giác SPOQ nội tiếp được đường tròn ( đpcm )

b, 

H là trung điểm DE => OH vg DE ( quan hệ giữa đk và dây cung trong ( o ) )

=> OHS = 90 độ

Xét tg SOHQ có : OHS = OQS = 90 độ

Mà H và Q là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn SO dưới 1 góc = 90 độ

=> Tg SOHQ nt đc đường tròn

=> 4 điểm S, O, H, Q cùng thuộc 1 đtr        (1)

Tg SPOQ nt ( cmt ) => 4 điểm S, P, O, Q cùng thuộc 1 đtr       (2)

Từ (1) và (2) => 5 điểm S, P, O, H, Q cùng thuộc 1 đtr

=> Tg SPHQ nt

=> SPQ = SHQ ( 2 góc nt cùng chắn cung SQ của đtr ngoại tiếp tg SPHQ )

Mà SPQ = PGQ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung PQ )

=> SHQ = PGQ

Mặt khác : SHQ và PGQ là 2 góc ở vị trí đồng vị của 2 đt PG và SE

=> PG // SE ( đpcm)

c,

Chưa nghĩ ra

??????????????????????????????????????????????

tk nha

a)
Theo đề bài thì DE//BC vì DE và BC đều là tiếp tuyến của đường tròn.
=>Tam giác ADE vuông tại D và tam giác AHC vuông tại H.
=>Hai tam giác vuông này có góc đối bằng nhau: DAE=CAH
Và hai cạnh bằng nhau (là bán kính đường tròn) AD=AH
===> hai tam giác vuông ADE và AHC bằng nhau
===>hai cạnh bằng nhau: AE=AC
Xét tam giác BEC có AE=AC hay gọi được gọi A là trung điểm của EC=> BA là trung tuyến của EBC kẻ từ B
Và tam giác BEC cũng có góc BAC vuông, hay còn gọi là đường cao.

Một tam giác có đường cao cũng là đường trung tuyến vậy tam giác BEC cân tại B
--------------------------------------...
b)
Vì BA vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác BEC cho nên BA chia tam giác cân BEC thành hai nửa tam giác vuông, và cũng bằng nhau: BAE=BAC
=> hai đường cao kẻ từ A tới đáy của hai tam giác vuông BAE và BAC là AH và AI phải bằng nhau.
--------------------------------------...
c)
AI= AH= bán kính đường tròn
AI vuông góc với BE theo đề bài
==> BE là tiếp tuyến của đường tròn

--------------------------------------------

Vi NN nằm trên (O)(O) nên ˆNAB=90∘NAB^=90∘(1) ⇒NB⊥DA⇒NB⊥DA. Mà DC⊥AB,AM⊥DBDC⊥AB,AM⊥DB ⇒K⇒K Là trực tâm tam giác DABDAB suy ra BK⊥ADBK⊥AD (2). Từ (1) và (2) suy ra B,N,KB,N,K thẳng hàng

Theo vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{4}{3}\\x_1.x_2=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Ta có:

\(A=\left(x_1+5x_2\right)\left(x_2+5x_1\right)=5\left(x_1^2+x_2^2\right)+26x_1x_2\)

\(=5\left(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right)+26x_1x_2\)

\(=5\left(\left(\frac{4}{3}\right)^2-\frac{2}{3}\right)+\frac{26}{3}=\frac{128}{9}\)

Theo hệ thức Viète ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{3}\end{cases}}\)

Khi đó A = ( x₁ + 5x₂ )( x₂ + 5x₁ ) = x₁x₂ + 5x₁² + 5x₂² + 25x₁x₂

= 26x₁x₂ + 5( x₁² + x₂² ) = 26x₁x₂ + 5( x₁ + x₂ )² - 10x₁x₂

= 5( x₁ + x₂ )² + 16x₁x₂ = 5.(4/3)² + 16.1/3 = 80/9 + 16/3 = 128/9

Ta có x + my = 1 và mx + y = 1
<=> x = 1 - my và mx + y = 1
<=> x = 1 - my và m(1 - my) + y = 1
<=> x = 1 - my và m - m^2y + y = 1
<=> x = 1 - my và y(1 - m^2) = 1 - m
Để hpt có nghiệm duy nhất thì pt y(1 - m^2) = 1 - m có nghiệm duy nhất
<=> 1 - m^2 ≠ 0
<=> (1 - m)(1 + m) ≠ 0
<=> m ≠ ±1
Khi đó nghiệm duy nhất của hpt sẽ là
x = 1 - m/(1 + m) và y = 1/(1 + m)
Để x , y > 0
thì 1 - m/(1 + m) > 0 và 1/(1 + m) > 0
<=> 1/(1 + m) > 0
<=> m + 1 > 0
<=> m > -1
và m ≠ ±1
do đó m > - 1 và m ≠ 1
Vậy m > - 1 và m ≠ 1 thì hpt có nghiệm duy nhất thỏa mãn x , y > 0