\(ĐKXĐ:x\ge0;y\ge0\)

Ta có:\(pt\Rightarrow2\sqrt{3}-3=\sqrt{3}x+\sqrt{3}y-6xy\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3}\left(x+y-2\right)=3\left(2xy-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y-2=\sqrt{3}\left(2xy-1\right)\)

Nếu \(2xy-1\ne0\),ta có:

\(\Rightarrow\sqrt{3}=\frac{x+y-2}{2xy-1}\inℚ\left(L\right)\)

Do đó:2xy-1=0,từ đó suy ra x+y-2=0,do đó ta có hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}2xy-1=0\\x+y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{2}\\x+y=2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}xy=\frac{1}{2}\\x=2-y\end{cases}\Leftrightarrow\left(2-y\right)y=\frac{1}{2}}\)

\(\Leftrightarrow y^2-2y+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2=\frac{1}{2}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y-1=\frac{1}{\sqrt{2}}\\y-1=-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=1+\frac{1}{\sqrt{2}}\end{cases}}\left(TM\right)\)

Vậy tập nghiệm của pt là:\(\left(x,y\right)=\left\{\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}};1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}};1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}\)

\(A=\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\)

\(=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}+\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1}\)

cái phân thức thứ 2 mình trục căn thức nhé 

\(=\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\)

\(A=\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}+\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}\)

\(=\sqrt{3}+2-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\)

lớp 9 cơ á, cao nhể

\(AB=c,AC=b\).

\(r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{bc}{2}}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{bc}{a+b+c}\).

\(\frac{r}{a}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\Leftrightarrow\frac{bc}{a\left(a+b+c\right)}\le\frac{\sqrt{2}-1}{2}\Leftrightarrow2bc\le\left(\sqrt{2}-1\right)a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow2bc+a\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2bc+ab+ac\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2+ab+ac\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)\le\sqrt{2}a\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\le\sqrt{2}a\)

Bđt cuối đúng do \(b+c\le\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}=\sqrt{2}a\)mà ta biến đổi tương đương nên bđt ban đầu cũng đúng. 

Do đó ta có đpcm. 

a) Xét tứ giác BCMN ta có

\(\widehat{BNC}=90^o\)(CN là đường cao, vuông góc với AB)

\(\widehat{BMC}=90^o\)(BM là đường cao, vuông góc với AC)

=> Tứ giác BCMN là tứ giác nội tiếp (do \(\widehat{BNC},\widehat{BMC}\)cùng nhìn cạnh BC với 1 góc bằng 90^o)

a, Vì BM là đường cao => \(BM\perp AC\)=> ^BMC = 90⁰

Vì CN là đường cao => \(CN\perp AB\)=> ^CNB = 90⁰

Xét tứ giác BCMN ta có : 

^BMC = ^CMB = 90⁰

^BMC ; ^CMB cùng nhìn về BC 

Vậy tứ giác BCMN nội tiếp 

Ta có: \(101\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow101^y\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow3.101^y\equiv3\left(mod4\right)\).

Với \(x\equiv0\left(mod2\right)\)thì \(x^5\equiv0\left(mod4\right)\Leftrightarrow x^5+1\equiv1\left(mod4\right)\).

\(x\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow x^5\equiv1\left(mod4\right)\Leftrightarrow x^5+1\equiv2\left(mod4\right)\)

\(x\equiv3\left(mod4\right)\Leftrightarrow x^5\equiv3^5\equiv3\left(mod4\right)\Leftrightarrow x^5+1\equiv0\left(mod4\right)\)

Ta thấy hai vế không cùng đồng dư với \(4\)do đó phương trình vô nghiệm. 

Tạm câu c) làm sau :<

Đặt \(A=\sqrt{15-6\sqrt{6}}+\sqrt{15+6\sqrt{6}}\)

\(\Rightarrow A^2=15-6\sqrt{6}+15+6\sqrt{6}+2\sqrt{\left(15-6\sqrt{6}\right)\left(15+6\sqrt{6}\right)}\)

\(=30+2\sqrt{225-216}=30+2\sqrt{9}=30+6=36\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}A=6\\A=-6\end{cases}}\)

Mà \(A>0\)

Suy ra A=6

Đặt biểu thức trên là A

\(A=x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\)

\(=\left(x-y\right)^2+\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}+2xy\ge2\sqrt{\left(x-y\right)^2\frac{\left(xy-1\right)^2}{\left(x-y\right)^2}}+2xy\)

\(=2\sqrt{\left(xy-1\right)^2}+2xy\)

\(=2\left|xy-1\right|+2xy\)

Áp dụng bđt Cô si 

- Nếu thấy \(xy\ge1\Rightarrow A\ge2xy-2+2xy=4xy-2\ge2\)

- Nếu \(xy< 1\Rightarrow A>-2xy+2+2xy=2\)

Vậy : \(A\ge2\left(đpcm\right)\)

Ta có:Xét hiệu \(x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2-2=\left(x-y\right)^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2+2\left(xy-1\right)\ge0\)

\(=\left(x-y+\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+\left(\frac{xy-1}{x-y}\right)^2\ge2\left(đpcm\right)\)