\(\sqrt{x^2-2x+1}+\sqrt{x^2-4x+4}=3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|x-1\right|+\left|x-2\right|=3\)

Ta xét 3 trường hợp : 

1. Với \(x< 1\) , pt trên trở thành : \(1-x+2-x=3\Leftrightarrow2x=0\Leftrightarrow x=0\)(nhận)

2. Với \(1\le x\le2\), pt trên trở thành : \(x-1+2-x=3\Leftrightarrow1=3\)(vô lý - loại)

3. Với \(x>2\) , pt trên trở thành : \(x-1+x-2=3\Leftrightarrow2x=6\Leftrightarrow x=3\)(nhận)

Vậy tập nghiệm của phương trình : \(S=\left\{0;3\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)^2}+\sqrt{\left(x-2\right)^2}=3\)

\(\Leftrightarrow x-1+x-2=3\)

\(\Leftrightarrow2x=6\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Đặt \(t=x^2+8x+11\) và \(A=\left(x^2+8x+7\right)\left(x^2+8x+15\right)+15\): \(\Rightarrow A=\left(t-4\right)\left(t+4\right)+15=t^2-16+15=t^2-1=\left(t-1\right)\left(t+1\right)\)

\(=\left(x^2+8x+10\right)\left(x^2+8x+12\right)=\left(x+2\right)\left(x+6\right)\left(x^2+8x+10\right)\)

\(4x^2+2x+12\)

\(=\left(4x^2+2x+\frac{1}{4}\right)+\frac{47}{4}\)

\(=\left[\left(2x\right)^2+2.\frac{1}{2}\left(2x\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]+\frac{47}{4}\)

\(=\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{47}{4}\)

Có :

\(\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với mọi \(x\)

\(\Rightarrow\left(2x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{47}{4}\ge\frac{47}{4}\)

\(\Rightarrow\text{​​}\)GTNN của \(4x^2+2x+12\)là \(\frac{47}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi :

\(2x+\frac{1}{2}=0\)

\(2x=-\frac{1}{2}\)

\(x=-\frac{1}{4}\)

Vậy GTNN của \(4x^2+2x+12=\frac{47}{4}\)khi \(x=-\frac{1}{4}.\)

 1. Chia (x^3-2) cho x-1 ta được x^2+x+1 dư -1

Vậy để x^3-2 chia hết cho x-1 thì x-1\(\in\)Ư(-1)

Mà Ư(-1)={1;-1}

=> x-1\(\in\){1;-1}

*) x-1 = 1<=> x=2

*) x-1 =-1 <=> x=0

 Vậy x=2;x=0 thì x^3-2 chia hết cho x-1

2, Chia cột dọc x^3-a cho x-1 ta được x^2+x+1 dư 1-a

Vậy để x^3-a chia hết cho x-1 thì 1-a=0 <=> a = 1

Vậy a=1 thì x^3 - a chia hết cho x-1

\(\frac{1}{4}.\frac{2}{6}............\frac{31}{64}=2^x\)

\(\Rightarrow\frac{1.2........31}{2.2.2.3...........2.31.64}=2^x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^{30}.2^4}=2^x\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^{34}}=2^x\)

\(\Rightarrow x=-34\)

Ta có : \(x+y+z=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=0\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=0\) (Vì xy+yz+zx = 0)

Vì \(x^2\ge0;y^2\ge0;z^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2+z^2=0\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=0\Leftrightarrow x=y=z=0\)

=6x-2y