Gọi chiều dài HCN là x              => chiều rộng là x - 3

Khi tăng chiều dài thêm 1/4 của nó tức là: x + 1/4x = 5/4x

Khi tăng chiều rộng thêm 1cm tức là x - 3 + 1 = x - 2

Diện tích ban đầu của HCN là x(x - 3)

Diện tích sau khi thay đổi các kích thước là: 5/4x(x - 2)

Theo đề bài ta có phương trình:     x(x - 3) + 20 = 5/4x.(x - 2)

                                                 <=>  x2 - 3x + 20 = 5/4x2 - 5/2x

                                                 <=>  1/4x2 + 1/2x - 20 = 0

                                                 <=>  x = 8 (n)        x = - 10 (l)

=> Chiều dài HCN là 8cm

=> Chiều rộng HCn là 5cm

Gọi x, y, z lần lượt là số trâu đứng, nằm, già (ĐK: x, y, z Nguyên dương)

Theo đề ta có x + y + z = 100 (1)

Số bó cỏ các loại trâu ăn:

Trâu đứng ăn hết: 5x (bó cỏ)

Trầu nằm ăn hết: 3y (bó cỏ)

Trầu già ăn hết z/3 (bó cỏ)

Vì số cỏ mà trâu ăn hết là 100 bó nên ta có pt

5x + 3y + z/3 = 100 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra hệ phương trình

Giải hệ pt này ta tìm được

Số trâu của mỗi loại

Đáp số: (trâu đứng; trầu nằm; trâu già) ={(12;4;84) ; (56;11;33) ; (4;18;78)}

Cách 1.
Đặt trâu đứng nằm và già lần lượt là a, b, c, ta có hệ PT như sau:
a + b + c = 100
5a + 3b + c/3 = 100
Giải hệ PT trên ta xẽ có được nghiệm lần lượt tương ứng:
a bằng 4, 8, 12.
b bằng 18, 11, 4.
c bằng 78, 81, 84

Cách 2:
Số trâu già phải là bội số của 3. Và ta cũng đã biết nếu trâu già (VD là 75 thì số còn lại sẽ là 25 con đứng và nằm, mà 75 trâu già chén hết 25 cỏ, vậy là còn lại là 75 cỏ và 25 trâu nằm vùa đủ.... vậy là không có con nào đứng......
Đặt vấn đề con già là 87 thì sẽ hết 29 cỏ, lúc này trâu đứng và nằm sẽ là 100 - 87 = 13 và cỏ còn lại là 100 - 29 = 71
13 con trâu với 71 cỏ thì dù toàn bộ đứng cũng không hết cỏ 13 * 5 = 65, thừa 6 cỏ mà không có con nằm nào vì thế chỉ có thể số già lớn hơn 75 và chỉ nhỏ hơn 87 tìm bộ số của 3 trong đoạn này ta có 78, 81, 84.
Nếu là 78 già hết 26 cỏ tức là còn 22 trâu với 74 cỏ, giả sử 14 * 5 = 70 và 8 * 3 = 24 vô lý. Lần lượt 13,...vẫn vô lý, nên trâu đứng chắc chắn phải từ 1 trở lên mà 1 * 5 = 5, vậy còn 21 nằm với 69 cỏ => vô lý.
Lần lượt như vậy sẽ có kết quả trên.

\(\sqrt[3]{26+15\sqrt{3}}+\sqrt[3]{26-15\sqrt{3}}=\sqrt[3]{8+12\sqrt{3}+18+3\sqrt{3}}+\sqrt[3]{8-12\sqrt{3}+18-3\sqrt{3}}=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{3}\right)^3}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\)

\(=\sqrt[3]{2^3+3.2^2.\sqrt{3}+3.2.\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(\sqrt{3}\right)^3}+\sqrt[3]{2^3-3.2^2.\sqrt{3}+3.2.\left(\sqrt{3}\right)^2+\left(-\sqrt{3}\right)^3}\)

\(=\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^3}+\sqrt[3]{\left(2-\sqrt{3}\right)^3}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4\)

Ta có: Tam giác DAO cân tại O (vì OA = OD)     => Góc ADO = Góc DAO

Ta lại có: Góc HBD = Góc ADO (cùng phụ Góc HDB)                       => Góc HBD = Góc DAO

Tam giác DBA vuông tại D      => Góc DAB + Góc DBA = 90độ

Mà Góc DBA + Góc DBI = 90độ

=> Góc DAB = Góc DBI       hay       Góc DAO = Góc DBI

Từ 2 chứng minh trên ta được: Góc HBD = Góc DBI

=> BD (hay BK) là đường phân giác Góc HBI

Áp dụng tính chất đường phân giác vào tam giác BHI ta được:

KH / BH = KI / BI            hay            KH.BI = KI.BH  (đpcm)

vô nghiệm vì x^2 .=o ==.> x^2 +1>o nên (x^2 +1)^2  + (x +3 )^2   >0 vậy pt vô nghiệm