Xét phân thức phụ sau, với n nguyên dương lớn hơn 1 ta có:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2\sqrt{n}}=2\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}\right)\sqrt{n}}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

=> \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được:

\(A=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}}\right)\)

\(A=2-\frac{2}{\sqrt{2020}}< 2=B\)

Vậy A < B

giả sử phép chia thứ 2 là đúng.
Ta có:
a = 22x + 7               (1)        (x,y thuộc N )
a= 36y + 4                (2)
Từ (1) và (2) => 22x+7 = 36y +4  <=> y = ( 22x +3 )/36     (3)
,<=> y = ( 2.11x+2+1)/(2.)18)
Ta thấy (2.11x + 2 +1) là một số lẻ => ko chia hết cho 2 =>ko chia hết cho (2.18)
vậy giả thuyết ban đầu sai.
=> phép chia thứ 2 sai .

giả sử a chia 22 dư 7 

\(\Rightarrow\) a là số lẻ 

\(\Rightarrow\) a chia 36 cũng sẽ có số dư lẻ 

mà 4 là số chẵn         

Vậy phép chia thứ hai sai 

Hàng 1: (17+8)=5x5

Hàng 2: (13+7)=5x4

Hàng 3: (6+12)=6x3

Hàng 4: (10x6)=4x15

=> ?=15

Xin lỗi!

Hàng 4: (10+6)=4x4

=> ?=4

Vì n là số nguyên dương nên \(n^2+n+3>3\). Gọi r là số dư khi chia n cho 3, \(r\in\left\{0,1,2\right\}\). Nếu r=0 hoặc r=2 thì \(n^2+n+3⋮3\)

Mẫu thuẫn với giả thiết \(n^2+n+3\)là số nguyên tố. Do đó r=1 hay n chia 3 dư 1. Khi đó \(7n^2+6n+2017\)chia 3 dư 2. Mà 1 số chính phương có số dư khi chia cho 3 là 0 hoặc 1 nên => đpcm

Ta có \(n\inℕ^∗\Rightarrow n\equiv0;1;2\left(mod3\right)\left(1\right)\) 

Nếu \(n\equiv0\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv0\left(mod3\right)\) mà  \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)

=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )

=> \(n\equiv0\left(mod3\right)\) (loại)  (2)

Nếu \(n\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow n^2+n+3\equiv9\equiv0\left(mod3\right)\) mà  \(n^2+n+3>3\forall n\inℕ^∗\)

=> \(n^2+n+3\) là hợp số ( mâu thuẫn )

=> \(n\equiv2\left(mod3\right)\)( loại)   (3)

Từ (1);(2);(3) => \(n\equiv1\left(mod3\right)\) 

Hay n chia 3 dư 1

Với \(n\equiv1\left(mod3\right)\) ta có

\(7n^2+6n+2017\equiv2030\equiv2\left(mod3\right)\) 

=> \(7n^2+6n+2017\) chia 3 dư 2

Lại có : Một số chính phương bất kì khi chia cho 3 dư 0 hoặc dư 1 (5)

Từ (4);(5) => \(7n^2+6n+2017\) không phải là số chính phương (đpcm)

a) \(\sqrt{x^2}=7\)

\(\Leftrightarrow\left|x\right|=7\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\x=-7\end{cases}}\)

b) \(\sqrt{\left(x-2020\right)^2}=10\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2020\right|=10\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2020=10\\x-2020=-10\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2030\\x=2010\end{cases}}\)

c) đk: \(x\ge2\)

 \(\sqrt{4}-\left(x-2\right)+3\sqrt{16x-32}=8\)

\(\Leftrightarrow2-x+2+12\sqrt{x-2}=8\)

\(\Leftrightarrow12\sqrt{x-2}=x+4\)

\(\Leftrightarrow144\left(x-2\right)=\left(x+4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2-136x+304=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=133,726...\\x_2=2,273...\end{cases}}\)

d) đk: \(x\ge-1\)

 \(\sqrt{25x+25}-2\sqrt{64x+64}=7\)

\(\Leftrightarrow5\sqrt{x+1}-16\sqrt{x+1}=7\)

\(\Leftrightarrow-11\sqrt{x+1}=7\)

Mà \(-11\sqrt{x+1}\le0< 7\left(\forall x\right)\)

=> pt vô nghiệm

a) Trên AB lấy điểm J sao cho MJ // CD

∆BCD có M là trung điểm của BC và MJ // CD nên J là trung điểm của BD => BJ = DJ       (1)

∆AJM có I là trung điểm của AM và ID // MJ nên D là trung điểm AJ => AD = DJ                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = DJ = JB => AD/_AB = 1/₃

b) ∆AMC và ∆AMB có cùng chiều cao hạ từ A và hai cạnh đáy của hai tam giác này bằng nhau (MB = MC) nên S_AMC = S_AMB = S_ABC/₂ = 24 (cm²)

∆AIC và ∆CIM có cùng chiều cao hạ từ C và hai cạnh đáy của hai tam giác bằng nhau (AI = IM) nên S_AIC = S_CIM = S_AMC/₂ = 12 (cm²)

Ta có: DI = 1/₂JM = 1/₂.1/₂CD = 1/₄CD => DI = 1/₃IC => S_ADI = 1/₃S_AIC = 4 (cm²)

Vậy diện tích tam giác ADI là 4cm²

Bài 1:

a) \(2x^3-x^2-2x+1\) (đã sửa đề)

\(=x^2\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)\)

\(=\left(x^2-1\right)\left(2x-1\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(2x-1\right)\)

b) \(4x^2-16x^2y^2+y^2+4xy\)

\(=\left(4x^2+4xy+y^2\right)-16x^2y^2\)

\(=\left(2x+y\right)^2-\left(4xy\right)^2\)

\(=\left(2x-4xy+y\right)\left(2x+4xy+y\right)\)

c) \(x^3-16x-15x\left(x-4\right)\)

\(=x^3-16x-15x^2+60x\)

\(=x^3-15x^2+44x\)

\(=x\left(x^2-15x+44\right)\)

\(=x\left(x-4\right)\left(x-11\right)\)

d) \(x\left(x-y\right)+y\left(x-y\right)^2-xy+x^2\)

\(=x\left(x-y\right)+y\left(x-y\right)^2+x\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left[x+y\left(x-y\right)+x\right]\)

\(=\left(x-y\right)\left(2x+xy-y^2\right)\)

Bài 2:

a) \(x^4+1-2x^2\)

\(=\left(x^2\right)^2-2x^2+1\)

\(=\left(x^2-1\right)^2\)

\(=\left(x-1\right)^2\left(x+1\right)^2\)

b) \(x^2-y^2-3y+3x\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y+3\right)\)

c) \(y^2-4x^2+4x-1\) (đã sửa đề)

\(=y^2-\left(2x-1\right)^2\)

\(=\left(y-2x+1\right)\left(y+2x-1\right)\)

d) \(x^3\left(2+1\right)^2-\left(x+2\right)^2+1-x^3\)

\(=9x^3-x^2-4x-4+1-x^3\)

\(=8x^3-x^2-4x-3\)

\(=\left(8x^3-8x^2\right)+\left(7x^2-7x\right)+\left(3x-3\right)\)

\(=\left(x-1\right)\left(8x^2+7x+3\right)\)