\(\left(4x-1\right)\sqrt{x^2+1}-\left(4x-1\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2x^2-2x+2-\left(4x-1\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(4x-1\right)\left(\frac{2}{3}-\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)}{\sqrt{x^2+1}+x+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\left(-2x^2+\frac{2x}{\sqrt{3}}\right)-x\left(1+2\sqrt{3}\right)+\frac{2\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1-4x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x+\frac{1}{\sqrt{3}}}+2x+1+2\sqrt{3}\right)=0\)

Mà điều kiện xác định là \(x\ge\frac{1}{4}\)nên \(\left(\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}\left(1-4x\right)}{\sqrt{x^2+1}+x+\frac{1}{\sqrt{3}}}+2x+1+2\sqrt{3}\right)>0\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(x=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

sao bạn nghĩ ra được cách thêm bớt \(\left(4x-1\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)  vậy ???

Ta có : \(\frac{OD}{AD}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OE}{BE}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABO}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

\(\Rightarrow\left(1-\frac{OD}{AD}\right)+\left(1-\frac{OE}{BE}\right)+\left(1-\frac{OF}{CF}\right)=2\)

\(\Rightarrow\frac{OA}{AD}+\frac{OB}{BE}+\frac{OC}{CF}=2\)

hay \(R\left(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\right)=2\Rightarrow\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}=\frac{2}{R}\) 

mà ta có \(\frac{1}{AD}+\frac{1}{BE}+\frac{1}{CF}\ge\frac{9}{AD+BE+CF}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{R}\ge\frac{9}{AD+BE+CF}\)

\(\Rightarrow AD+BE+CF\ge\frac{9R}{2}\)(đpcm)

Khó quá! Em mới học lớp 7

xét 1-1/xy:
=(xy-1)/xy
nhân 4x^3y^3 vào bt:
(4x^4y^4-4x^3y^3)/4x^4y^4
thay 4x^4y^4=(x^3+y^3)^2:
=[(x^3+y^3)^2-4x^3y^3]/(x^3+y^3)^2
=(x^6+y^6-2x^3y^3)/(x^3+y^3)^2
=(x^3-y^3)^2/(x^3+y^3)^2
=>căn(1-1/xy)=lx^3-y^3l / lx^3+y^3l là số hữu tỉ


 

Cô phải đọc rất kĩ mới hiểu bài của Minh. Lần sau em chú ý dùng công thức có trong phần \(f\left(x\right)\)để bài làm được trực quan hơn.
Cảm ơn em đã trình bày bài giải !

Để hàm số y xác định thì \(x-a\ge0;2x-a-1\ge0\), với mọi x dương.
Xét hàm số y = x - a, với \(x\ge0.\)
 Min y = 0 - a = -a, khi x = 0.
Để \(x-a\ge0,\)với mọi x > 0 thì min \(y=-a\ge0\)hay \(a\le0.\)(1)
Xét hàm số: \(y=2x-a-1\)
Tương tự Min y = -a - 1, khi x = 0.
Để \(2x-a-1\ge0,\)với x > 0 thì min y = - a - 1 \(-a-1\ge0\Leftrightarrow a\le-1\). (2)
Kết hợp điều kiện (1) và (2) ta có:\(a\le-1\)là thỏa mãn đề bài.
Đây là lời giải dựa theo phương pháp " nhìn vấn đề theo quan điểm cực trị " ngoài ra các bạn có thể dùng hàm số đồng biến cũng lập luận gần giống.
Chú ý: x = 0 ta vẫn xét nhưng hiểu được thì các em pahir học qua hàm số liên tục ở lớp 11.
 

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương ta có:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\left(1\right)\)

\(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{c^2}+\frac{1}{a^2}\ge\frac{2}{ac}\left(2\right)\)

Từ (1) ;(2) và (3) suy ra:

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{a+b+c}{abc}=6\)

Vậy \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge6\).Dấu "=" xảy ra <=>\(\hept{\begin{cases}a+b+c=6abc\\\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}=\frac{1}{c^2}\end{cases}=>a=b=c=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

A = \(x-2\sqrt{xy}+3y-2\sqrt{x}+1\)

\(=\left(\frac{x}{3}-\frac{2\times\sqrt{3}\sqrt{xy}}{\sqrt{3}}+3y\right)+\left(\frac{2x}{3}-\frac{2\times\sqrt{2}\times\sqrt{3}\sqrt{x}}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}+\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}\)

\(=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{3}}-\sqrt{3y}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2x}{3}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2-\frac{1}{2}\)

\(\ge-\frac{1}{2}\)

512 

ko chac

Kho the

\(\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2=1-x^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2-2mx+m^2-1=0\)

có \(\Delta'=m^2-2\left(m^2-1\right)=2-m^2\)

phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\Delta'=0\)<=> 2-m^2=0   <=> m \(\in\left\{\sqrt{2},-\sqrt{2}\right\}\)

vậy...

Cha kho the nhi?

\(\left(\frac{ID}{AD}+\frac{IE}{BE}+\frac{IF}{CF}\right)\left(\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{ID}{AD}}\sqrt{\frac{AD}{ID}}+\sqrt{\frac{IE}{BE}}\sqrt{\frac{BE}{IE}}+\sqrt{\frac{IF}{CF}}\sqrt{\frac{CF}{IF}}\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{ID}+\frac{BE}{IE}+\frac{CF}{IF}\ge\left(1+1+1\right)^2\Leftrightarrow\frac{IA+ID}{ID}+\frac{IB+IE}{IE}+\frac{IC+IF}{IF}\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{IA}{ID}+\frac{IB}{IE}+\frac{IC}{IF}\ge6\)

Bạn ko hiểu chỗ nào thì hỏi mình nhé!

tôi không biết

Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x  = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
 Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
 

Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.

\(=\left(\frac{\sqrt{1+m}}{\sqrt{1+m}-\sqrt{1-m}}+\frac{\sqrt{1-m}\cdot\sqrt{1-m}}{\sqrt{1-m}\cdot\left(\sqrt{1+m}-\sqrt{1-m}\right)}\right)\cdot\frac{\sqrt{1-m^2}-1}{m}\)

\(=\frac{\sqrt{1+m}+\sqrt{1-m}}{\sqrt{1+m}-\sqrt{1-m}}\cdot\frac{\sqrt{1-m^2}-1}{m}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{1+m}+\sqrt{1-m}\right)^2}{\left(\sqrt{1+m}-\sqrt{1-m}\right)\left(\sqrt{1+m}+\sqrt{1-m}\right)}\cdot\frac{\sqrt{1-m^2}-1}{m}\)

\(=\frac{1+m-m+1+2\sqrt{1-m^2}}{2m}\cdot\frac{\sqrt{1-m^2}-1}{m}\)

\(=\frac{\sqrt{1-m^2}+1}{m}\cdot\frac{\sqrt{1-m^2}-1}{m}=\frac{1-m^2-1}{m^2}=-1\)